Ширина раскрытия трещин железобетонных конструкций трапециевидного поперечного сечения

Будем различать ширину раскрытия трещин на уровне расстояния dот поверхности арматуры и на уровне боковых и нижней граней железобетонных конструкций [60]. Дело в том, что при проведении экспериментальных исследований ширина раскрытия трещин замеряется обычно с помощью микроскопа именно на боковых и нижних гранях железобетонных конструкций, а контакт сцепления бетонной матрицы с боковой поверхностью арматуры осуществляется на некотором удалении от этих поверхностей.

Согласно гипотезе Томаса, под шириной раскрытия трещин понимается накопление относительных взаимных смещений арматуры и бетона ε_q(x).Для конкретизации будем отталкиваться от эталонного значения защитного слоя, равного диаметру рабочей арматуры. При этом, если размер действительного защитного слоя превышает эталонное значение, то возникает необходимость в учете дополнительного раскрытия трещины, обусловленного разницей между этими значениями.

Для построения расчетной схемы вырежем полоску шириной d, прилегающую к поверхности рабочей арматуры и к боковым или нижней граням железобетонной конструкции (рисунок 2.10).

Рисунок 2.10 - Расчетные схемы полосок-консолей, вырезанных в окрестностях боковых или нижней граней железобетонной конструкции: а - вид сбоку; б - вид сверху; в - расположение

вырезанных полосок в поперечном сечении

При этом в окрестности, прилегающей к трещине, будем учитывать деформационный эффект, связанный с нарушением сплошности бетона, который обуславливает наличие местных сдвигающих усилий ΔΤи дополнительных распределенных моментов ΔΜ(рисунок 2.11).

Рисунок 2.11 - Дополнительные усилия, возникающие в местной зоне, прилегающей к трещине

из-за нарушения сплошности бетона: а - эпюра деформаций в бетоне; б - дополнительные распределенные моменты ΔΜ; в - распределение касательных усилий в околоарматурной зоне

Распределение усилий в сечениях вырезанной полоски определяет 2 случая, которые рассмотрены ниже.

Случай 1.Эпюры распределения напряжений и деформаций приведены на рисунке 2.12. Здесь для описания эпюры напряжения используется квадратная парабола:

При выполнении условия 2, (2.83), из зависимости (2.81) следует

Из уравнения (2.87) будем иметь:

Рисунок 2.12 - Эпюры распределения напряжений и деформаций

на участках 1-3 и 3-2 (случай 1):

а - действительная эпюра напряжений; б - аффиноподобное распределение деформаций; в - эпюра напряжений, принятая для практического расчета

Из условия 3 (2.84) получим:

Отсюда следует

При выполнении условия 4 (2.85) из зависимости (2.81) получим уравнение:

В этом уравнении неизвестным является x₀

Таким образом, для определения 4-х неизвестных C, A, B, x₀имеем 4 уравнения: равенство (2.86) и уравнения (2.88), (2.90) и (2.91), соответственно.

Система уравнений (2.88), (2.90) и (2.91) решается методом

последовательных приближений. При этом, в качестве первого приближения принимаем из условия аффиноподобия (рисунок 2.12, б):

После этого, решая совместно уравнения (2.88) и (2.90), получим:

Тогда параметр Bбудем определять по зависимости (2.90).

После этого можно уточнить параметр x₀,ιиз уравнения:

Полученное значение сравниваем с его приближенным значением по зависимости (2.93).

На следующем шаге итерации принимаем

Итерации повторяются до получения требуемой точности расчета.

Проведенные обширные численные исследования показали [63, 62], что на участке от Т1 до Т3 искомая эпюра распределения напряжений действительно близка к параболе и, следовательно, коэффициент наполнения эпюры ω₁ 2 3.

На участке же от Т3 до Т2 коэффициент наполнения эпюры близок к

Поэтому для дальнейшего построения способа расчета принимаем усредненную эпюру на участке 1-3, состоящую из двух фигур: прямоугольника и треугольника (рисунок 2.12, в), а на участке 3-2: в виде прямоугольника с ординатой

При этом параметр X₁определяется из условия, в соответствии с которым сумма площадей прямоугольника и треугольника с ординатой σ_bt,_cна участке 1-3 равна площади параболы с коэффициентом наполнения, равном ω₁=2∕3:

Отсюда следует, что

Если неравенство, ограничивающее зависимость (2.95), не выполняется, т.е. - это означает, что мы переходим к расчетному случаю 2.

Случай 2.Эпюры распределения действительных и принятых для практического расчета напряжений приведены на рисунке 2.13.

Рисунок 2.13. - Эпюры распределения напряжений на участках 1-2 и 2-3 (случай 2): а - действительная эпюра напряжений; б - эпюра напряжений,

принятая для практического расчета

Для описания эпюры распределения напряжений будем использовать параболу по уравнению (2.81). Для определения её параметров воспользуемся следующими условиями:

1) условие совпадает с уравнением (2.82);

2) условие совпадает с уравнением (2.84);

4) при x=x₀ y=0.

Тогда параметры C и B определяются из зависимостей (2.86) и (2.90). Параметр А отыскивается из уравнения

Отсюда следует:

Расстояние x₀до точки Т3, в которой y=0(рисунок 2.11), известно, - оно следует из зависимости (2.95) для случая 1 при обращении неравенства в равенство.

Тогда зная x₀,из 4-го условия (2.85) получим параметр А

Из (2.101) следует:

Раскрывая параметр B, получим

С другой стороны, из третьего условия

Приравнивая (2.104) и (2.103), получим

74

Из проведенных численных исследований следует, что на участке от Т1 до Т2 (рисунок 2.11) эпюру распределения напряжений можно упростить, приняв её в виде трапеции, а на участке от Т2 до Т3, - в виде треугольника (рисунок 2.13, б). При этом, если параметр x₀приближается к параметру l_r,то случай 2 упрощается и вместо двух фигур, трапеции и треугольника, будет одна, - в виде треугольника с ординатой, равной σ_bt,_c.Вторая ордината будет стремиться к 0,- имеем частный вариант случая 2, - здесь точки 2 и 3 совпадают и x₀=l_r,который в практических расчетах встречается крайне редко.

Теперь, располагая эпюрами распределения усилий по мере удаления от поверхности арматурного стержня до боковой или нижней граней железобетонной конструкции, можно определить перемещения полосок-консолей, принятых в качестве расчетной схемы (рисунки 2.10 и 2.11). В принятой расчетной схеме также учитываются дополнительный момент ΔΜи сосредоточенная сила ΔΤ,возникающие в зоне, прилегающей к трещине из-за нарушения сплошности.

Здесь следует подчеркнуть, что необходимо различать ширину раскрытия трещины на удалении dот поверхности арматуры и на удалении защитного слоя до боковых и нижней граней железобетонной конструкции (рисунок 2.10).

Тогда усилие, отыскиваемое в продольной арматуре, распределяется пропорционально произведению площади на периметр i-го арматурного стержня:

В расчете определяющей будет та полоска-консоль, для которой ширина раскрытия трещины на поверхности железобетонной конструкции будет наибольшей.

В итоге расчетная схема вырезанных полосок-консолей принимает вид (рисунок 2.14).

75

Рисунок 2.14 - Расчетные схемы вырезанных полосок-консолей: а - случай 1; б - случай 2

На рисунке 2.14:

М₀ - моментная реакция в заделке;

M_s- нагельный момент в арматуре, полученный из двухконсольного элемента [13], Ms = X 3 =ΔT ∙ ;

- величина защитного слоя;

Δφ- угол поворота заделки, обусловленный поворотом изогнутой оси железобетонной конструкции [13] (учитывается только для трещин снизу, при рассмотрении для трещин, развивающихся до боковой поверхности конструкции, Δφпринимается равным 0);

ΔT- определяется из расчетной схемы двухконсольного элемента [13, 137];

ΔM- дополнительный момент, возникающий в зоне, прилегающей к трещине из-за нарушения сплошности.

Для трещины снизу

Для трещины сбоку

Опираясь на предложенную расчетную схему, для случая 1 (рисунок 2.14, а) будем иметь:

Для записи формулы (2.107) был использован дополнительный рисунок 2.15.

Опираясь на предложенную расчетную схему, для случая 2 (рисунок 2.14, б) будем иметь:

Рисунок 2.15 - Преобразование заданной нагрузки (а) к необходимому виду, принятому в методе начальных параметров путем сложения эпюры (б) и эпюры (в) и вычитания из результирующей (г) дополнительного треугольника 1-2-3 на участке В-С

Для записи формулы (2.111) был использован дополнительный рисунок 2.16.

Преобразование заданной нагрузки на участке А-В (треугольник 1-2-3 и треугольник 3-4-5 на рисунке 2.16, а) к виду метода начальных параметров выполняется аналогично случаю 1 (рисунок 2.15).

Преобразование заданной нагрузки на участке В-С (треугольник 3-6-7 на рисунке 2.16, а) к виду метода начальных параметров выполняется путем сложения прямоугольной (рисунок 2.16, б) и треугольной (рисунок 2.16, в) эпюр.

Рисунок 2.16 - Преобразование заданной нагрузки на участке В-С к необходимому виду, принятому в методе начальных параметров путем сложения эпюры (б) и эпюры (в)

Численный анализ показывает, что перемещения в зоне защитного слоя y_rи уо, вычисленные по формуле (2.107) (случай 1) и по формуле (2.111) (случай 2), достаточно близки к экспериментальным данным [63, 61, 62].

Аналогичным образом можно определить перемещения y_dsпри l_rили x₀, равным d,соответственно, для первого и второго случаев. При этом формула (2.107) записывается без последних четырех слагаемых, а формула (2.111) без последних двух слагаемых.

Тогда ширину раскрытия трещины a_crcна боковых или нижней поверхностях железобетонной конструкции можно определить, располагая её теоретическим значением a_crc,_s,умноженным на коэффициент k_r:

Коэффициент k_r.определяется по формуле:

При этом теоретическое значение ширины раскрытия трещин a_crc,_s определяется по формуле [13, 25]:

где l_crc- расстояние между трещинами;

параметры сцепления арматуры с бетоном. Их физический смысл подробно охарактеризован в работе [13, 6].

В свою очередь, обработка опытных данных позволяет получить следующую зависимость:

. .₅

Здесь- экспериментальное перемещение волокон бетона, расположенных на расстоянии rот поверхности арматуры в направлении её продольной оси в сечении с трещиной (депланация в сечении с трещиной); r - радиус околоарматурной зоны до рассматриваемых волокон; σ_sи R_s- напряжение в арматуре и предел текучести арматуры, соответственно; σ_sи R_sпринимаются в кН/см², а значение f_Rв мм.

До накопления достаточного количества экспериментальных данных и проведения сопоставительного анализа принято целесообразным вводить в расчет ограничение для коэффициента k_rв соответствии с неравенством:

где- экспериментальное перемещение волокон бетона, расположенных на боковых или нижней гранях железобетонной конструкции в направлении продольной оси арматуры в сечении с трещиной (депланация в сечении с трещиной);

f_R,_ds- экспериментальное перемещение волокон бетона, расположенных на расстоянии r=dот поверхности арматуры в направлении продольной её оси, в сечении с трещиной (депланация в сечении с трещиной до уровня r=d).

2.5