Расчеты изгибаемых железобетонных элементов применительно к трапециевидному сечению

В начале XX века, в связи с бурным ростом промышленности и появлением новых задач в строительстве, широкое распространение получили железобетонные конструкции. Появлялись новые виды сталей и бетонов.

Новым методом расчета железобетона явился метод расчета по разрушающим нагрузкам, основанный на предложениях проф. А.Ф. Лолейта. Дальнейшее развитие данный метод получил в работах проф. А.А. Гвоздева и др. ученых [22]. Разрушение изгибаемых железобетонных элементов по нормальному сечению возможно по двум случаям. Первый случай, когда растягивающие напряжения в арматуре достигли значения σ_l∙ (σ₀.₂) при этом напряжения в бетоне сжатой зоны не достигли предельного сопротивления. Дальнейшей значительное развитие деформаций растянутой арматуры приводит к существенному росту прогибов, увеличению ширины раскрытия трещин, в результате чего высота сжатой зоны бетона уменьшается. Второй случай заключается в том, что напряжения в арматуре не превышают σ_l∙ (σ₀.₂), при этом напряжения в бетоне сжатой зоны достигли предельного значение. В таком случае разрушение происходит с характерным выколом бетона. Для определения, по какому из этих случаев пойдет разрушение, необходимо знать процент армирования.

В работах Я.В. Столярова [121]также указывается влияние процента армирования на случаи разрушения.

Исследованию данного вопроса были посвящены труды А.А. Гвоздева [22], Я.В.

Из выше причисленных работ следует, что на несущую способность изгибаемых железобетонных элементов по нормальному сечению, оказывают влияния следующие факторы:

- прочностные и деформативные характеристики бетона;

- прочностные и деформативные характеристики арматуры;

- наличие предварительного напряжения и др.

Помимо вышеизложенных факторов на несущую способность изгибаемых железобетонных элементов по нормальному сечению влияют форма и геометрические размеры поперечного сечения.

В своих работах К.Т. Саканов [116]отмечает, что целенаправленных работ, касающихся прямо или косвенно вопроса влияния формы поперечного сечения на границу переармирования достаточно мало. Автор отмечает работы М.И. Бычкова [15], П.Н. Губонина [32], М.Ш. Нофаля [95], В.И. Кулинича и М.С. Торяника [67]. Сам автор отмечает допустимость расчета балок треугольной формы по нормальному сечению с учетом корректировки эмпирического параметра ξ_κ.

Расчет балок непрямоугольного сечения предлагали многие ученные.

Проф. А.Б. Голышев для расчета балок непрямоугольного сечения предлагал следующий способ [109]:

В общем случае расчета (рисунок 1.1) должно выполняться условие:

где M- проекция момента внешних сил на плоскость, перпендикулярную к прямой, ограничивающей сжатую зону бетона;

S_bc- статический момент площади сжатой зоны бетона относительно оси, параллельной прямой, ограничивающей сжатую зону и проходящей через центр тяжести сечения наиболее растянутого стержня;

S_si- статический момент i-го стержня продольной арматуры относительно указанной оси;

σ_si- напряжение в i-м стержне продольной арматуры;

I-I - Плоскость, параллельная плоскости действия изгибающего момента; А - точка приложения равнодействующих усилий в сжатой арматуре и в бетоне сжатой зоны; В - точка приложения равнодействующей в растянутой арматуре

Рисунок 1.1 - Схема усилий и эпюра напряжений в поперечном сечении железобетонного изгибаемого элемента в общем случае расчета прочности

Для определения несущей способности или подбора арматуры применительно к сечениям элементов переменной ширины (трапециевидной формы) рисунок 1.2, а, автор предлагает использовать следующий прием.

28

а - расчетное сечение; б - прямоугольная часть сечения; в - треугольная часть.

Рисунок 1.2 - К расчету прочности элементов трапецеидального сечения

Ширина сечения на нейтральной оси треугольного сечения

откуда получают

где

Для определения несущей способности сечения по формуле (1.8) находят относительную высоту сжатой зоны а из уравнения (1.7) с учетом (1.10) - несущую способность.

Данная методика довольно неплохо зарекомендовала себя в практических задачах. Однако автор использует идеализированную модель диаграммы сжатия бетона. Это в свою очередь приводит к ряду недостатков, присущих всем методикам расчета с применением идеализированных диаграмм: применимость в узкой области, серьезные отклонения при расчете элементов с высоким классом бетона, а также в малоармированных или переармированных конструкциях.

В своей работе [40]Т.М. Пецольд и В.В. Тур для расчета непрямоугольных сечений предложили методику, аналогичную методике А.Б. Голышева.

Иной общий случай расчета можно встретить в работах В.Н. Байкова, М.И. Додонова, Б.С. Расторгуева, А.К. Фролова, Т.А. Мухамедиева, В.Х. Кунижева [5].

Общий случай расчета строится на следующих предпосылках:

• использование диаграмм «напряжения - деформации» бетона и арматуры при их осевом сжатии и растяжении, полученных при испытании эталонных образцов с учетом ниспадающей ветви;

• гипотеза плоского деформирования справедлива в нормальных сечениях на всех стадиях нагружения (до и после образования трещин в сечении, включая разрушение по нормальному сечению);

• напряжения в бетоне σ_bnи арматуре σ_skсчитаются равномерно распределёнными на элементарных площадках Abnи A_sk',

• независимо от схемы приложения внешних сил записывают три условия равновесия, причем в качестве моментных осей принимают произвольно выбранные координатные оси.

Нормальное сечение (рисунок 1.3) любой формы вводят в расчет в виде набора n-го числа элементарных участков бетона с площадями A_bnи k-го числа участков арматуры с площадями A_sk.

В соответствии с принятой гипотезой плоского сечения продольные относительные деформации посередине участков A_bnи A_skподчиняются следующим зависимостям

где- деформация продольной координатной оси элемента z;

кривизны этой оси в плоскости, совпадающих с осями х, у.

N-продольная сжимающая сила; M_x, q и My, q- изгибающие моменты от поперечных нагрузок q;

Рисунок 1.3 - Расчетная модель нормального сечения произвольной формы и общая схема приложения внешних сил

Зависимости для диаграмм «напряжения-деформации» имеют вид:

где- секущие модуля деформаций, зависящие от расположения

элементарных участков в сечении и уровня нагружения.

Условия равновесия имеют вид:

31

Подставляя выражения (1.11) и (1.12) в (1.13) и (1.14), а затем в уравнения равновесия (1.15) ... (1.17), с помощью итерационных методов расчета решают систему уравнений.

Как отмечают авторы, предложенная расчетная модель исчерпания прочности по нормальному сечению неплохо описывает напряженно- деформированное состояние на всех стадиях [5].

Авторы Е.И. Журбина, В. Крингс в работе [41]предлагают таблицы приведения сложных сечений к прямоугольным и сравнивают данный метод с расчетом по DIN 1045-1.

Расчет авторами производится по нормам [35] как для прямоугольных элементов:

где η-коэффициент для прямоугольного сечения принимаемы по таблицам в

зависимости от отношения граней трапеции.

где k_s- процент увеличения армирования в соответствии с нагрузкой и заданным соотношением размеров нижней и верхней граней.

Как видно такой подход абсолютно не отображает реальный характер работы конструкций. Он может быть использован только для приближенного расчета.

Для расчета изгибаемых железобетонных элементов на основе любой деформационной модели важную роль играют диаграммы работы материала. В данной работе для сопоставления предлагаемой расчетной модели с существующими, использовались методики расчета предложенные в СП 63.13330.2012 [119]и Еврокоде-2 [2].

В действующих нормах Российской Федерации [119]для расчета прочности, трещиностойкости и деформативности изгибаемых железобетонных элементов используется деформационная расчетная модель, включающая трехлинейные диаграммы сжатия и растяжения бетона (рисунок 1.4), а также двух- (при наличии физической площадки текучести) и трехлинейные (без физической площадки текучести) диаграммы растяжения арматуры(рисунок 1.5).

Рисунок 1.4 - Трехлинейная диаграмма “σ6~εό”, принятая

в СП63.13330.2012

Расчетная диаграмма сжатия (растяжения) бетона состоит из трех расчетных прямолинейных участков (см. рисунок 1.4). Угол наклона первого участка A характеризуется модулем Eb (tgα= Eb).Точка Aдиаграммы имеет координаты: σ_b1=0,6 R_b, ε_b1= 0,6 R_b/ E_b.

Для арматуры всех видов в действующих нормах [119]предложены двухлинейные и трёхлинейные зависимости «напряжения-деформации», приведенные на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5 - Диаграммы растяжения для арматурных сталей: а - с физической площадкой текучести; б - без физической площадки текучести

Значение относительной деформации, определяющей границу упругого участка двухлинейной диаграммы для арматуры с физической площадкой текучести (рисунок 1.5, а), находят по формуле

где R_s- величина расчётного сопротивления арматуры;

E_s- модуль упругости арматуры.

Таким образом, напряжения в арматуре ∏s, согласно двухлинейной диаграммы состояния арматуры определяют в зависимости от относительных деформаций Ssпо следующим формулам:

Значение максимальной относительной деформации ε_s2для «мягкой» арматуры принимают равной

Для высокопрочных арматурных сталей принимают трехлинейную диаграмму (рисунок 1.5, б). Тогда напряжения в арматуре ∏s, согласно трёхлинейной диаграммы состояния арматуры определяют в зависимости от относительных деформацийпо формулам.

34

Для определения значений параметровпринимаются

следующие зависимости:

Основным достоинством этих упрощённых зависимостей является простота аналитических зависимостей, что позволяет их использовать как для «ручных» расчётов, так и в составе программных средств. Однако имеются и недостатки, к которым относится, например, неучёт участка упрочнения, находящегося за площадкой текучести «мягкой» арматуры. Кроме того, при описании диаграммы высокопрочной арматуры горизонтальный участок диаграммы, соответствующий её условному пределу текучести, существенно отличается от реальной зависимости σ ~ ε, что в итоге приводит к неточностям в распределении напряжений и усилий в арматуре на этапах, близких к разрушению сечения изгибаемой железобетонной конструкции.

В Еврокоде-2 [2, 135]для нелинейного расчета используется криволинейная диаграмма деформирования бетона. Пример данной диаграммы приведен на рисунке 1.6.

Рисунок 1.6 - Диаграммы деформирования бетона при расчете конструкций’^· ∙∙ε.

принятая в Еврокоде-2

Для аналитического отображения данной диаграммы используется зависимость:

где- деформация при максимальном напряжении согласно таблице 3.1 [2],

- среднее значение прочности бетонного цилиндра при сжатии принимаемое согласно таблице 3.1 [2].

Для арматуры различных видов в Еврокоде-2 предложены два типа диаграмм для горячекатаной и холоднодеформированной сталей (рисунок 1.7 а, б). При этом для арматуры первого типа (горячекатаной) пределы текучести принимаются в следующем диапазоне:

Величиныопределяются согласно таблице 3.6 [2].

Рисунок 1.7 - Диаграммы деформирования арматурных сталей, принятые в Еврокоде-2: а - с физической площадкой текучести; б - без физической площадки текучести

1.4