Построение методики расчета прочности железобетонных балок трапециевидного сечения

Как отмечается в работах [88, 73], реальные условия работы бетона изгибаемых железобетонных конструкциях, в растянутой и сжатой зонах существенно отличаются от соответствующих условий испытаний стандартных образцов, так как в реальности бетон работает в условиях неравномерного распределения деформаций и напряжений, т.е.

Рисунок 2.1 - Диаграммы деформирования бетона при центральном и неоднородном сжатии (кривые 1 и 2): φι = arctg(E⅛ι); φ2 = arctg(E02)

Для нахождения вида эпюр напряжений в изгибаемом железобетонном элементе применяются различные методы трансформирования исходных диаграмм [15, 45, 63, 131], полученных при испытании эталонных образцов на центральное сжатие. Такие преобразования базируются на эмпирической основе и справедливы только для типов сечений и напряженных состояний, на которых они получены. Более общим, представляется подход [88], основанный на использовании энергетических соотношений для трансформирования эталонных диаграмм сжатия бетона, полученных при кратковременном центральном (однородном) сжатии стандартных бетонных образцов с постоянной скоростью роста напряжений.

При построении деформационной расчетной модели для определения несущей способности сечений изгибаемых железобетонных элементов используем уравнения равновесия, условия совместности деформаций с учетом гипотезы плоских сечений и нелинейные диаграммы деформирования бетона и арматуры.

Вначале рассмотрим используемую в расчетной модели эталонную диаграмму сжатия бетона, для аналитического описания которой используем дробно-рациональную функцию вида:

где E_b1, D_b1, C_b1- начальный модуль упругости и параметры нелинейности деформирования бетона, получаемые экспериментально-теоретическим путем;

σb, εb- текущие значения напряжений и деформаций сжатия.

Для нахождения указанных параметров диаграммы центрального сжатия бетона используются как экспериментальные данные, так и общепринятые теоретические предпосылки.

К параметрам, определяемым экспериментально в ходе испытания стандартных бетонных призм, относятся следующие:

- предельное сопротивление бетона центральному сжатию R_b;

- нормативный модуль упругости бетона E_bn,величина которого устанавливается при напряжениях σ_b=0,3R_b;

- предельная относительная деформация бетона сжатию SbR.

На основании обобщения данных, представленных в работах [2, 53, 83, 85], для определения величины s_bRприменительно к тяжелому бетону классов от B10 до B100 можно рекомендовать следующую эмпирическую зависимость:

Что касается других перечисленных выше параметров, то нормативная база их значений для широкого диапазона используемых в настоящее время бетонов достаточно хорошо разработана и постоянно пополняется.

Входящий в зависимость (2.1) начальный модуль упругости E_b1отличается от нормативного модуля Ebn, который по существу является секущим модулем деформаций бетона при сжатии.

Для нахождения величины E_b1и параметров нелинейности D_b1, C_b1используются следующие допущения:

- кривая σ~εпри центральном сжатии бетона должна проходить через точку с координатами σ_b =0,3R_bи ε_b=σ_b l^Ebn^;

- конечная точка диаграммы центрального сжатия бетона имеет координаты

- касательный модуль деформаций в предельной точке диаграммы центрального сжатия равен нулю

Аналитическое отображение этих допущений приводит к системе уравнений:

Диаграмму деформирования бетона при неоднородном сжатии (см. кривую 2 на рисунке 2.1) получим путем трансформирования исходной (эталонной) диаграммы на основе использования энергетического критерия разрушения бетона [88]. Для аналитического описания искомой диаграммы принимается функция, аналогичная (2.1):

где- начальный модуль упругости и параметры нелинейности

деформирования бетона при неоднородном сжатии.

Для определения неизвестных параметров диаграммыи

соответствующей величины предельной относительной деформации (Z_bu)приняты следующие гипотезы и допущения [88]:

- предельное значение удельной энергии деформирования бетона при неоднородном сжатии равно удельной энергии, накапливаемой в каждом волокне центрально сжатого бетонного образца непосредственно перед его разрушением;

- для предельной стадии деформирования бетона при неоднородном сжатии (что соответствует сжатой зоне сечения элемента на этапе исчерпания его прочности по нормальному сечению) деформация волокна, проходящего через

42 центр тяжести эпюры сжимающих напряжений, равна предельной деформации бетона при центральном сжатии SbR;

- критерием исчерпания прочности нормального сечения изгибаемого железобетонного элемента является достижение фибровым волокном сжатой зоны этого элемента предельной величины относительной деформации S_buс одновременным исчерпанием сопротивления бетона сжатию R_b;

- зависимость, описывающая диаграмму неоднородного сжатия бетона, имеет экстремум в точке с координатами

Аналитическое отображение принятых гипотез приводит к системе уравнений:

где x- высота сжатой зоны бетона в сечении изгибаемого железобетонного элемента;

z- расстояние от нейтральной оси сечения до рассматриваемого волокна эпюры напряжений в сжатой зоне бетона;

- напряжение в рассматриваемом волокне эпюры напряжений;

- относительная деформация в рассматриваемом волокне.

Уравнения (2.7) и (2.8) выведены из допущения, что кривая σ~ε имеет экстремум в точке с координатами

Применительно к прямоугольному сечению изгибаемого железобетонного элемента зависимости (2.9) и (2.10) после интегрирования будут следующими:

где- предельная величина относительной деформации бетона при неоднородном сжатии.

В результате численного решения системы уравнений (2.7), (2.8), (2.11), (2.12) одним из итерационных методов, определяются искомые характеристики диаграммы неоднородного сжатия бетона. Именно эта диаграмма неоднородного сжатия бетона (2.6) в сочетании с гипотезой плоских сечений используется для определения необходимых характеристик сжатой зоны в нормальном сечении изгибаемого железобетонного элемента.

Теперь рассмотрим принимаемые в расчётной деформационной модели диаграммы растяжения арматуры (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 - Диаграммы растяжения арматурной стали: а - арматура без физической площадки текучести; б - то же, с физической площадкой текучести

Для описания диаграмм деформирования арматурных сталей различных марок и классов существует много предложений [14, 36, 46, 78, 102, 105, 107,117]. Воспользуемся рекомендуемой С.А. Мадатяном методикой представления зависимости σ~ε кусочной функцией, состоящей из одного линейного и нескольких нелинейных сплайн-уравнений [100]. При этом основу кусочной функции на двух криволинейных участках составляет уравнение вида (2.1).

Сначала рассмотрим диаграмму растяжения арматуры без физической площадки текучести (рисунок 2.2, а):

где- модуль упругости арматуры;

- предел упругости и соответствующая относительная деформация арматуры;

- условный предел текучести и возникающая при этом относительная деформация;

предельная относительная деформация при разрыве арматуры;

- параметры нелинейности кусочной функции, описывающей соответственно второй и третий участки диаграммы;

E_s2- модуль упругости арматуры в начальной точке третьего участка.

Для нахождения неизвестных параметров (Cs1, Ds1, Cs2, Az, Es₂) принимаются следующие гипотезы и допущения (см. рисунок 2.2, а):

- деформирование арматуры на первом участке до точки 1, соответствующей пределу упругости σ_e∕, является линейным с начальным модулем упругости Es;

- кривая на втором участке проходит через точки 1 и 2, в которых имеет общие касательные с предыдущим и последующим участками (точка 2 является условным пределом текучести арматуры

- на третьем участке кривая проходит через опорную точку с

координатамидостигая экстремума при напряжении в арматуре

равном временному сопротивлению разрыву σ_u.

На основании принятых гипотез и допущений составлена система из 5-ти уравнений:

где- координаты точки, в которой остаточная деформация в арматуре

составляет 0,5 %;

- временное сопротивление и предельная относительная деформация при разрыве арматуры.

При этом в зависимости (2.16) ... (2.20) входят фиксированные параметры напряжений и деформаций, соответствующие значения которых являются координатами опорных точек экспериментальной диаграммы растяжения арматурной стали. Эти параметры для распространенных в практике

строительства классов арматуры могут приниматься, например, в соответствии с рекомендациями, приведенными в работах [78, 100, 101]. Для новых классов и марок арматурных сталей необходимые данные могут быть получены с необходимой обеспеченностью путём статистической обработки результатов экспериментальных исследований арматуры на растяжение.

Аналогичный подход используется для описания диаграммы растяжения арматурной стали с физической площадкой текучести (рисунок 2.2, б). Кривая σ~ε также представлена в виде трех участков, одного линейного и двух криволинейных:

где- предел текучести арматуры;

- относительная деформация в конце площадки текучести.

Все остальные обозначения в сплайн-уравнениях соответствуют ранее принятым.

Однако, выражения для определения параметров нелинейности C_s1, D_s1, E_s2, C_s2, D_s2на втором и третьем участках диаграммы растяжения арматуры выводятся из рассмотрения других гипотез и допущений:

- сплайн-уравнение для второго участка проходит через две опорные точки, соответствующие пределу упругости G_elи пределу текучести G_y,а также имеет общую касательную с линейным участком в точке 1 и экстремум в точке 2 (см. рисунок 2.2, б);

- кривая, описывающая диаграмму на третьем участке, проходит через две опорные точки - предел текучести σ_yи временное сопротивление арматуры разрыву G_u..Кроме того, в точке 3 кривая g~sимеет экстремум, а модуль

упругости Es2 подбирается таким, чтобы обеспечивать прохождение сплайн- уравнения через начало координат.

Аналитическое отображение принятых гипотез и допущений позволяет составить систему из 5-ти уравнений, решение которых приводит к следующим выражениям для искомых параметров нелинейности:

Зависимости для определения оставшихся двух параметров совпадают с ранее полученными выражениями (2.19) и (2.20) с учетом замены

і

Напряжения и деформации, соответствующие опорным точкам диаграммы растяжения арматурной стали с физической площадкой текучести, могут приниматься по справочным данным, приведенным в работах [78, 101].

Теперь на основе деформационной расчетной модели можно перейти к построению расчетной методики для определения прочности железобетонной балки трапециевидного поперечного сечения.

Расчетная схема изгибаемого железобетонного элемента трапециевидного сечения с широкой верхней полкой для стадии исчерпания его прочности представлена на рисунке 2.3.

Уравнения равновесия имеют следующий вид:

где M_u- предельный изгибающий момент, соответствующий исчерпанию прочности элемента по нормальному сечению;

ω_c, γ_c- интегральные геометрические характеристики эпюры напряжений в сжатой зоне бетона;

x- высота сжатой зоны бетона;

σ_sc, σ_st- напряжения в сжатой и растянутой арматуре;

A_sc, A_st- площади сжатой и растянутой арматуры;

h- высота сечения железобетонного элемента;

b_x- ширина сечения на уровне нейтральной оси;

bup- ширина верхней грани элемента;

a_c, a_t- расстояния от верхней и нижней граней сечения до центров тяжести сжатой и растянутой арматуры.

Рисунок 2.3 - Схема распределения деформаций, напряжений и усилий в нормальном сечении изгибаемого железобетонного элемента трапециевидного сечения с верхней широкой гранью на стадии исчерпания его прочности

Для нахождения коэффициента полноты эпюры напряжений в сжатой зоне бетона (ω_c) и относительного расстояния от нейтральной оси до центра тяжести этой эпюры (γ_c) применительно к трапециевидной форме сечения железобетонного элемента используем расчетную схему, приведенную на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4 - Расчетная схема к определению интегральных геометрических характеристик эпюры напряжений в сжатой зоне бетона (ω_c, γ_c)

Находим зависимость для учета изменения ширины трапециевидного сечения по его высоте:

где- ширина нижней грани элемента.

Откуда определяем искомый параметр b?.

При z=0 из формулы (2.30) получаем ширину сечения на уровне нейтральной оси:

Для определения величины коэффициента полноты эпюры напряжений в сжатой зоне бетона (ω_c) применительно к трапециевидной форме поперечного сечения элемента (см. рисунок 2.4) используем следующую интегральную зависимость, описанную в работе [99]:

где V_x- объем нелинейной эпюры напряжений в сжатой зоне бетона, имеющей высоту х и переменную ширину от b_xдо b_up;

A_z- площадь нелинейной эпюры напряжений в сжатой зоне бетона, имеющей на расстоянии zот нейтральной оси ординату σ_zи ширину b_z;

V_max- объем постоянной по величине эпюры напряжений (σ_z=R_b)в сжатой зоне бетона, имеющей высоту х и переменную ширину от b_xдо b_up.

Для нахождения последнего из указанных параметров (Vmax) используем следующую зависимость:

Подставив выражение (2.31) в (2.33) получаем окончательный вид формулы для определения Vmax:

Для определения площади Azнелинейной эпюры напряжений используем выражение:

где σ_z- ордината нелинейной эпюры напряжений, расположенной на расстоянии zот нейтральной оси.

Зависимость для нахождения этого параметра (σ_z) с учетом использования гипотезы плоских сечений имеет следующий вид:

С учётом выражения для σ_zпроинтегрируем зависимость (2.32). В результате получаем следующее алгебраическое уравнение, в котором неизвестным параметром является высота сжатой зоны бетона х:

51

Теперь найдем зависимость для определения относительного расстояния от нейтральной оси до центра тяжести эпюры напряжений в сжатой зоне бетона трапециевидного железобетонного элемента с верхней широкой гранью: где все параметры ранее уже обозначались, в том числе на рисунках 2.3 и 2.4.

Интегрирование зависимости (2.38) приводит к следующему итоговому выражению:

С учетом принятой гипотезы плоских сечений для рассматриваемого железобетонного элемента записываются следующие условия деформаций: где ε_sc, S_st- относительные деформации сжатой и растянутой арматуры.

Неизвестные напряжения в сжатой и растянутой арматуре (σ_sc, σ_st) находятся с помощью универсальной кусочной функции (2.21)...(2.23), принятой для описания диаграмм деформирования арматурных сталей [89]. Здесь ограничимся представлением кусочной функции в общем виде:

Таким образом, построена система разрешающих уравнений для расчетной методики определения прочности железобетонной балки трапециевидного сечения с широкой верхней гранью.

Теперь рассмотрим представленную на рисунке 2.5 расчетную схему изгибаемого железобетонного элемента трапециевидного сечения с широкой нижней гранью на стадии исчерпания его прочности [99].

Рисунок 2.5 - Схема распределения относительных деформаций, напряжений и усилий в нормальном сечении изгибаемого железобетонного элемента трапециевидной формы с широкой нижней гранью, на стадии исчерпания его прочности

Уравнения равновесия, условия деформаций, физические зависимости для растянутой и сжатой арматуры применительно к рассматриваемому трапециевидному сечению с широкой нижней гранью полностью совпадают с ранее представленными формулами (2.27), (2.28), (2.40)...(2.43).

При этом для определения ширины b_xтрапециевидного сечения элемента на уровне его нейтральной оси используется другое выражение:

Коэффициент полноты эпюры напряжений в сжатой зоне бетона ω_cи относительное расстояние от нейтральной оси до центра тяжести этой эпюры γ_c для трапециевидной формы сечения железобетонного элемента с широкой нижней гранью находятся по аналогии с ранее рассмотренным сечением с верхней широкой гранью.

Соответствующие зависимости для вычисления указанных параметров имеют вид:

В результате численного решения полученной системы уравнений с использованием одного из итерационных методов определяется искомый изгибающий момент M_u,соответствующий исчерпанию прочности по нормальному сечению изгибаемого железобетонного элемента трапециевидной формы с нижней широкой гранью.

Поскольку расчетная методика разработана без привлечения эмпирических зависимостей, то её можно использовать для теоретического определения прочности сечений изгибаемых железобетонных элементов трапециевидной формы при любой прочности бетона и различном содержании сжатой и растянутой арматуры.

Следует отметить, что применение данной методики возможно и для изгибаемых железобетонных элементов прямоугольного сечения. В данном случае прямоугольное сечение будет рассматриваться как частный случай балок трапециевидного сечения с условием, что b_up = b_dn.

2.2