Методика расчета ширины раскрытия трещин железобетонных конструкций трапециевидного поперечного сечения

Для определения НДС железобетонного изгибаемого элемента трапециевидного сечения с верхней широкой гранью с учетом образования трещин в растянутой зоне бетона рассмотрим расчетную схему [59], представленную на рисунке 2.9.

Уравнение равновесия внешних и внутренних сил в виде суммы их проекций на продольную ось, а также уравнение равновесия изгибающих моментов внешних и внутренних усилий относительно нейтральной оси (ΣM=0) совпадают соответственно с уравнениями (2.69) и (2.70).

В уравнении (2.69) содержатся 9 неизвестных переменных величин (σ_bc, ω_c, ω_i, Xc, xt, σsc, σ_st, b_x, b)Из уравнения (2.69) отыскивается неизвестное Xc.

Из уравнения (2.70) отыскивается неизвестное σ_bc.

В уравнении (2.70) добавляются 2 неизвестных параметра (γ_c, γ_t), что увеличивает их общее количество до 11.

Исходя из геометрических соотношений, применяемых для трапеций, определение ширины (b_x) трапециевидного сечения элемента на уровне его нейтральной оси используется выражение (2.50).

Ширина сечения на границе распространения первой трещины в растянутой зоне бетона b_tнаходится по аналогичному выражению (2.71).

Коэффициенты полноты эпюр напряжений в сжатой и растянутой зонах бетона ω_c, ω_tи относительные расстояния от нейтральной оси до центров тяжести соответствующих эпюр γ_c, γ_tопределяются с использованием диаграммы σ-ε(см. рисунок 2.6) посредством следующих зависимостей (2.51), (2.72), (2.52) и (2.73) полученных ранее применительно к трапециевидному поперечному сечению изгибаемого железобетонного элемента с верхней широкой гранью.

Зависимость (2.51) содержит дополнительную неизвестную переменную величину ε_bc, что увеличивает их общее количество до 12, а число уравнений становится равным 8.

Для рассматриваемого железобетонного элемента используются условия деформаций (2.55), (2.57), а также следующее соотношение:

Теперь знаянаходим x_t.

Величину краевой деформации бетона ε_bcопределяем из зависимости (2.47) σ-ε(рисунок 2.6). Входящие в неё параметры D_b2, C_b2нелинейно изменяются для ветвей, описывающих сжатие или растяжение бетона. При этом содержащиеся в них параметрыопределяются из следующих зависимостей [85]:

Количество неизвестных параметров не изменилось (14), а число уравнений увеличилось до 12.

Неизвестные напряжения в растянутой и сжатой арматуре σ_st ,σ_sc,находятся с помощью универсальной кусочной функции [70], которая условно представлена функциональными зависимостями (2.42) и (2.43).

Таким образом, получена замкнутая система 14 разрешающих уравнений, в результате решения которой находятся 14 неизвестных параметров

характеризующих НДС изгибаемого железобетонного элемента трапециевидного сечения c трещиной.

Для решения полученной системы уравнений используется следующий алгоритм.

1. (/=0). Задаемся начальным значением относительной деформации бетона в сжатой зоне Sb_c,iдля рассматриваемого сечения с трещиной для реализации основной итерационной процедуры:

2. Из зависимости (2.47) находим величину соответствующего краевого напряжения в сжатой зоне бетона σ_bc,_i.

3. Для реализации вспомогательной итерационной процедуры (/=0) задаемся начальным значением высоты сжатой зоны бетона для частного случая, связанного с отсутствием трещины в рассматриваемом сечении:

82

4.

5. Ширина трапециевидного сечения элемента на уровне его нейтральной оси (b_x,j)и на границе распространения трещины в растянутой зоне бетона (b_tj) определяются по выражениям (2.50) и (2.71), соответственно.

6. Определяются коэффициенты полноты эпюр напряжений в сжатой и растянутой зонах бетона на основании зависимостей (2.51) и (2.72).

7. Определяются величины относительных деформаций в сжатой и растянутой арматуре с использованием зависимостей (2.57), (2.120).

8. Теперь находим величины напряжений G_sc,_i, G_st,_iв сжатой и растянутой арматуре с использованием диаграмм σ-ε (2.43), (2.42).

9. В качестве критерия сходимости вспомогательной итерационной процедуры используем уравнение равновесия (2.69), в которое вместо нуля подставлена невязка Dltjс точностью до пятой значащей цифры после запятой:

10. Если условие сходимости п. 9 выполнено, то вспомогательная итерационная процедура считается завершенной, и тогда в основную итерационную процедуру передаются параметры НДС изгибаемого железобетонного элемента трапециевидного сечения c трещиной:

11. Относительные расстояния от нейтральной оси до центров тяжести эпюр напряжений в сжатой и растянутой зонах бетона в сечении с трещиной находятся по формулам (2.52) и (2.73).

12. В качестве критерия сходимости основной итерационной процедуры используем уравнение равновесия (2.70), преобразованное для определения невязки Dlt_iпутем нахождения разности между заданной величиной σ_bc,_iи полученным в расчетном сечении с трещиной σ_bcс точностью до пятой значащей цифры после запятой:

13.

14. Если данное условие не удовлетворяется, то основной итерационный процесс, включающий вспомогательную итерационную процедуру, продолжается путем управляемого изменения параметра z_bc,_iи повторения расчетов. Так продолжается до удовлетворения основного условия сходимости.

15. Если указанное условие выполнено, то первая часть основного алгоритма считается завершенной, и расчет НДС железобетонного изгибаемого элемента трапециевидного сечения с верхней широкой гранью с учетом образования трещины в растянутой зоне бетона заканчивается. При этом основные параметры НДС (σbc, Zbc, ω_c, ®t, ‰ γt, xc, xt, σsc, σ_st, z_sc, z_st)считаются установленными с погрешностью, не превышающей заданной точности.

16. Теперь, зная деформации бетона Zbcи арматуры z_st,определяем кривизну железобетонной конструкции трапециевидного поперечного сечения по формуле (2.65). Следует отметить, что коэффициент ψ_sопределяется по формуле (2.66).

Вторая часть алгоритма непосредственно связана с определением параметров ширины раскрытия трещин.

17. Задаемся недостающими данными, необходимыми для второй части алгоритма.

а) Геометрические характеристики поперечного сечения:

где d- диаметр продольной рабочей арматуры.

Параметры x_cи x_t,характеризующие сечение с трещиной, вычисляются после завершения итерационного процесса первой части алгоритма.

18. Определяем перемещения с использованием расчетной схемы ДКЭ [6, 137], модернизированной применительно к железобетонным конструкциям трапециевидного поперечного сечения (рисунок 2.18, г):

Рассчитываются перемещения из расчетной схемы ДКЭ (рисунок 2.18, б, в):

(k_rв первом приближении принимаем равным 0,3, для уточнения параметра k_rв последующих расчетах рекомендуется использовать зависимости (2.115), (2.116)).

Значение a_crcна первом шаге итераций принимаем по экспериментальным данным, а на последующих итерациях по найденным в предыдущих итерациях с использованием формулы (2.114), при этом ΔTна первом шаге итераций принимаем равным(r- радиус арматуры), а на последующих

итерациях по найденным в предыдущих итерациях с использованием формулы (2.144) (Δφ,являющийся одним из параметров этой формулы отыскивается из зависимости ,определяется по формуле (2.65));

(значение rдля Δ₆принимается равным двум диаметрам продольной рабочей арматуры).

Рис. 2.18 - К реализации зависимости механики разрушения для железобетонных конструкций

трапециевидного поперечного сечения

а) вырезание двухконсольного элемента при изгибе;

б) расчетная схема для раскрытия статической неопределимости двухконсольного элемента при изгибе, в зоне прилегающей к трещине; в) то же, эквивалентная расчетная схема;

г), д) - геометрические характеристики поперечного сечения и их усреднения в пределах вырезанных консолей, соответственно.

19. Из раскрытия статической неопределимости системы «арматура-бетон» находим внутренние усилия X₁, X₂, X₃.Здесь X₁=ΔT,- сдвигающая сила, которая находится в непосредственной близости от трещины, на расстоянии t(рисунок 2.18, г); X₂-равнодействующая сила в местной зоне сжатого бетона

(расположенной в растянутой зоне поперечного сечения железобетонной конструкции), которая находится на расстоянии t_cот боковой поверхности рабочей продольной арматуры; в первом приближении принимается из соотношения X₂∕Xιв соответствии с графиком (рисунок 4.32) из [6]; моментная составляющая в арматуре X₃,(моментной составляющей X₃в связи с незначительной её величиной на первой итерации пренебрегаем). Угловые параметры находим из следующих зависимостей [13, 25]:

где- принимается равным двум диаметрам продольной рабочей

арматуры.

При этом необходимо выполнение следующих неравенствесли

неравенства не выполняются,

На последующих итерациях вычисляем значения X₂,по формулам:

Если X₂< 0, изменяем направление усилия:

Проверяем выполнение неравенства:

здесь χ_cна первом шаге итерационного процесса,

87

Уточняем значения момента X₃по формуле:

Проверяем выполнение неравенства по X₃:

тогда X₃ = M_sи вычисляем усилие X₁по формуле:

Если жерассчитываем по формуле:

Проверяем выполнение неравенства, для дальнейшего

расчета принимаем меньшее из значений X1.

Рассчитываем коэффициент X_cиз выражени

Пересчитываем соответствующие параметры (B0, A, Bi, C, Aι, A₂, B₂)для нахождения усилий X₁, X₂, X₃,причем проверяем выполнение дополнительного неравенства для усилия X₁:

В случае его выполнения, принимаемрассчитываем

коэффициент χ_cпо (2.146) и т.д., пока заданный и найденный коэффициенты совпадут с заданной точностью.

Для дальнейшего расчета принимаем значения усилий X₁, X₂, X₃на последнем шаге итерационного процесса.

В случае если

коэффициент, принимаемый равным 0,1при экспериментальной (действительной) ширине раскрытия трещины

20. Рассчитываем значение параметра Kв сечении с трещиной по формуле:

где:

21. Определяем параметр сцепления В по формуле:

где

22. Напряжения в рабочей продольной арматуре в сечении с трещиной определяем с использованием условной функциональной зависимости (2.42).

23. Вычисляем предельную относительную деформацию удлинения бетона [85]:

где значение SbtRвычисляется по формуле (2.121).

24. Вычисляем расчетную величину напряжений σ_bt,_cи сравниваем с величиной расчетного сопротивления бетона центральному сжатию:

После этого выполняем проверку зависимости, которая обусловлена соотношением усилий X₁, X₂:

Из двух неравенств выбираем наименьшее σ_bt,_cпо модулю.

25. Проверяем выполнение расчетного условия, при котором ΔT=X₁и сравниваем значение усилия ΔTс неравенством:

В результате для ΔTпринимаем меньшее значение.

26. Вычисляем значение параметра В₃:

27. Вычисляем коэффициент k_r[60]по формуле (2.115) или (2.116).

28. Вычисляем значение параметра В₄:

При это учитываем физически возможную область его изменения (см. пункт 29 данного алгоритма):

Действительно, если B₄