Деформативность железобетонных балок трапециевидного сечения

Прогиб железобетонных балочных конструкций будем определять по известной формуле, приведенной в работе [55]:

где Mx- изгибающий момент в сечении х от действия единичной силы, приложенной по направлению искомого перемещения элемента в сечении по длине пролета L,для которого определяют прогиб;

(1/г)х - кривизна балки в сечении х от нагрузки, при которой определяется прогиб.

В общем случае вычисление прогиба производят путем разбиения пролёта балки на ряд участков, определения кривизны на границах этих участков (с учетом отсутствия или наличия трещин и знака кривизны) и перемножения эпюр моментов Mxи кривизны (1∕r)_xпо длине балки при линейном распределении кривизны в пределах каждого участка. Таким образом, для характерных сечений изгибаемой конструкции необходимо получить зависимости “момент-кривизна” [86].

Для определения кривизны на участках железобетонной балки с трещинами в растянутой зоне используется гипотеза плоских сечений в варианте В.И. Мурашева - Я.М. Немировского [76, 81]для некоторого расчётного сечения, в котором деформации бетона и арматуры соответствуют усреднённому состоянию блока между нормальными трещинами. Тогда вычисление кривизны для участка с трещинами производится с помощью зависимости [57]:

где ψb - коэффициент, учитывающий неравномерность распределения

деформаций сжатого бетона между трещинами и принимаемый равным 0,9;

ψs - коэффициент, учитывающий неравномерность распределения

деформаций растянутой арматуры между трещинами;

S_bи S_s- относительные деформации сжатого бетона и крайнего растянутого стержня в сечении элемента с трещиной;

h₀- расстояние между крайним сжатым волокном бетона и растянутым арматурным стержнем.

Значение коэффициента ψ_sвычисляется по формуле, представленной в работе [45]:

где Ss,crc- относительная деформация растянутой арматуры в железобетонном элементе рассматриваемого сечения сразу после образования трещины;

β - коэффициент, обеспечивающий неразрывность графика “момент- кривизна” в точке, соответствующей моменту трещинообразования сечения элемента (по рекомендациям [45]β = 0,8).

Однако практическое применение формулы (2.66) с постоянным значением βдля нахождения кривизн железобетонных элементов с трещинами в растянутой зоне во многих случаях не обеспечивает неразрывности графика «момент - кривизна». В работе А.И. Никулина [86]предложена методика для вычисления фактических значений коэффициента βприменительно к балочным элементам прямоугольного поперечного сечения. Исходя из назначения этого параметра в формуле (2.66), для его нахождения в работе [89]было предложено следующее выражение:

где r_crc- радиус кривизны элемента в рассматриваемом сечении непосредственно перед образованием в нём трещины;

Sb,crc- относительная деформация сжатого бетона сразу после образования

трещины.

Чтобы найти количественные значения коэффициента β для трапециевидного сечения, необходимо предварительно определить напряженно- деформированное состояние (НДС) изгибаемого железобетонного элемента указанного вида непосредственно перед образованием в нём первой трещины и сразу после её появления.

Методика определения НДС рассматриваемых балочных конструкций на этапе, непосредственно предшествующем началу их трещинообразования, была подробно представлена в разделе 2.2 данной работы. В дополнение к искомой величине момента трещинообразованиянеобходимо также найти радиус

кривизны сечениянепосредственно перед образованием в нём первой

трещины с помощью следующей зависимости:

где- относительные деформации фибрового волокна сжатого бетона и

крайнего растянутого арматурного стержня в сечении изгибаемого элемента непосредственно перед образованием в нём первой трещины.

Для решения второй задачи рассмотрим тот же железобетонный элемент сразу после образования в нём первой трещины (рисунок 2.9) [89].

Рисунок 2.9 - Схема распределения деформаций, напряжений и усилий в сечении железобетонного элемента трапециевидной формы сразу после образования в нём первой трещины

Аналитическое отображение схемы распределения деформаций, напряжений и усилий в сечении железобетонного элемента рассматриваемой формы приводит к следующим группам уравнений.

Уравнения равновесия в традиционной форме их записи имеют вид: где M_crc - изгибающий момент, соответствующий началу этапа

трещинообразования сечения железобетонного элемента;

σ_bc- величина фибрового напряжения бетона в сжатой зоне сечения;

ωc, ω_i, γc, Yi- интегральные геометрические характеристики эпюр напряжений в сжатой и растянутой зонах бетона;

x_c, x_t- высоты сжатой и растянутой зон бетона;

σ_sc, σ_st- напряжения в сжатой и растянутой арматуре;

b_up- ширина верхней грани трапециевидного сечения элемента;

h- высота сечения элемента;

A_sc, A_st- площади сжатой и растянутой арматуры;

a_c, a_t- расстояния от верхней и нижней граней сечения до центров тяжести сжатой и растянутой арматуры;

b_x- ширина сечения на уровне нейтральной оси;

bt- ширина сечения на границе распространения первой трещины в растянутой зоне бетона.

Для определения ширины (b_x) трапециевидного сечения элемента на уровне его нейтральной оси используется выражение (2.59).

Ширина сечения на границе распространения первой трещины в растянутой зоне бетона btнаходится по аналогичному выражению:

Коэффициенты полноты эпюр напряжений в сжатой и растянутой зонах бетона ω_c, ω_tи относительные расстояния от нейтральной оси до центров тяжести соответствующих эпюр γ_c, γ_tопределяются с помощью следующих зависимостей, полученных применительно к трапециевидному поперечному сечению изгибаемого железобетонного элемента с верхней широкой гранью:

Коэффициент полноты эпюры напряжений в сжатой зоне ω_cи относительное расстояние от нейтральной оси до центра тяжести эпюр γc находятся по (2.51), (2.52).

Коэффициент полноты эпюры напряжений в растянутой зоне ω_tи относительное расстояние от нейтральной оси до центра тяжести эпюр γt определяются следующим образом:

где- относительные фибровые деформации, соответственно, в сжатой

и растянутой зонах сечения изгибаемого железобетонного элемента сразу после образования в нем первой трещины;

h_crc- высота нетреснувшей части сечения элемента, которая определяется с помощью выражения:

Для рассматриваемого железобетонного элемента записываются следующие условия деформаций:

где- относительные деформации сжатой и растянутой арматуры сразу

после образования в нём первой трещины.

Величину фибрового напряжения бетона G_bcrcполучаем с использованием зависимости [88], описывающей диаграмму деформирования бетона при неоднородном сжатии:

где- начальный модуль упругости и параметры нелинейности

деформирования бетона при неоднородном сжатии.

Неизвестные напряжения в сжатой и растянутой арматуре Gsc, Gs,crc находятся с помощью универсальной кусочной функции. Обозначим искомые два выражения следующими функциональными зависимостями:

Таким образом, получена замкнутая система разрешающих уравнений, в результате решения которой находятся все необходимые параметры НДС изгибаемого железобетонного элемента трапециевидного сечения сразу после

67 образования в нём первой трещины, в том числе искомые величины относительных деформаций

Теперь с помощью зависимости (2.67) может быть вычислено фактическое значение коэффициента β, обеспечивающего неразрывность графика “момент- кривизна” в точке, соответствующей моменту трещинообразования трапециевидного сечения изгибаемого железобетонного элемента.

2.4