Безобменные магнитоэлектрические магноны - особый класс гибридных дипольных волн

В последние годы ведутся интенсивные исследования в области физики ЭМ метаматериалов [108-114]. Одна из наиболее важных особенностей этого класса композитных сред состоит в наличии резонансных аномалий, не харак­терных для динамики локально резонирующих структурных элементов, состав­ляющих такой композитный материал.

Здесь BhD-вектора магнитной и электрической индукции, H и E - век­тора магнитного и электрического поля, верхние индексы и “Т” отвечают соответственно комплексному сопряжению и транспонированию, а часть нену­левых компонент тензорных коэффициентов, входящих в (4.3.1), в зависимости от частоты может иметь резонансные особенности. Вместе с тем, в магнонике - одном из наиболее динамически развивающихся направлений современной 116

физики магнитных явлений, создание управляемых магнитных метаматериалов также основано на использовании системы локально резонирующих и элек­тромагнитно связанных между собой структурных элементов (спинов) [109,110]. При этом, до сих пор основное внимание традиционно уделяется анализу возможностей, прежде всего - магнитодипольных и обменных спино­вых волн. Что же касается электро дипольно активных спин-во лновых возбуж­дений (электромагнонов) [36-39], то несмотря все возрастающее число работ, выполненных в этом направлении, как правило, на основе уравнений Максвел­ла, рассматривается влияние электромагнонов на поляритонный спектр неог­раниченной среды, обладающей уравнениями связи, подобными (4.3.1) [111].

и электростатических уравнений

117

Что касается взаимодействия медленных ЭМ волн TM- и ТЕ-типа, т.е. существования медленных смешанных гибридных ЭМ волн (в дальнейшем бу­дем называть их гибридными дипольными волнами), то из (4.3.1)-(4.3.3) следу­ет, что их формирование можно ожидать в таких диэлектрических средах, ко­торые уже в кулоновском пределе одновременно характеризуются, во-первых, резонансным откликом на магнитное и (или) электрическое переменное внеш­нее поле, во-вторых, обладают таким внутри- или межслоевым (включая и по­верхностное) взаимодействием, которое обеспечивает связь между волнами магнитостатического (4.3.2) и электростатического (4.3.3) типа.

где b = [aq], a χ∕₁,₃и некоторые скалярные величины. В этом случае из (4.3.1) - (4.3.4) следует, что для такой сагиттальной плоскости невозможно формирование и распространение объемных дипольных волн ни магнитостати­ческого, ни электростатического типа. Это связано с независимостью указан­ных механизмов косвенного спин-спинового взаимодействия от ориентации волнового вектора в выбранной плоскости падения (возможность связывания

118

колебаний магнитостатического и электростатического типа за счет гранич­ных условий в данной работе не рассматривается). Однако, если одновременно с (4.3.4) входящий в (4.3.1) тензор МЭ проницаемости А обладает анизотропи­ей, то даже в однофазной среде можно ожидать магнитоэлектрического меха­низма формирования нового класса объемных смешанных гибридных диполь­ных волн, но до сих пор этот вопрос не обсуждался.

В данной работе на примере слоя однофазного магнитоэлектрика впервые показано, что интерференция магнитодипольного и электродипольного меха­низмов косвенного спин-спинового взаимодействия может приводить к фор­мированию нового класса распространяющихся гибридных дипольных волн: безобменных объемных МЭ магнонов и сопутствующих им резонансных ано­малий.

Определим, при каких условиях даже в случае (4.3.4) входящий в урав­нения связи (4.3.1) тензор МЭ проницаемости А делает принципиально воз­можным формирование гибридных дипольных волн. C этой целью, следуя [121], разложим этот аксиальный тензор второго ранга на неприводимые со­ставляющие относительно полной группы трехмерных вращений, т. е. предста­вим его в виде следующей суммы трех тензоров второго ранга:

Так как нас в данном случае интересует гибридная ЭМ волна в кулонов­ском пределе, то перейдем в (4.3.1) - (4.3.3) от векторов магнитного и электри­ческого полей к их потенциалам с помощью соотношений H = -V φ, E = - V ψ . В этом случае, с учетом (4.3.4) - (4.3.5), можно сделать вывод, что даже в маг­нитоэлектрике с тензорами магнитной и диэлектрической проницаемостей, по-

119

добными (4.3.4), вырождение по направлению между связанными между собою электростатическим и магнитостатическим полями может сниматься. Для этого необходимо, чтобы входящий в (4.3.1) тензор МЭ проницаемости А содержал симметрический тензор со следом равным нулю (P). Если волновой вектор к, лежащий в заданной сагиттальной плоскости с нормалью вдоль а, представить как k = ЛЬ + η q (q - единичный вектор нормали к поверхности раздела, b - единичный вектор вдоль линии пересечения сагиттальной плоскости и грани­цы раздела сред [16]) , то, указанное выше условие , приводит к следующей структуре тензора Pв (4.3.5):

где p₁₂- некоторые скалярные величины.

В качестве более конкретного примера среды, у которой структура тен­зора МЭ проницаемостиудовлетворяет критерию (4.3.6), рассмотрим двух- подрешеточную (M₁, M₂- намагниченности подрешеток, ∣M₁1=∣ M₂∣=M₀) мо­дель обменноколлинеарного АФМ, магнитная структура которого отвечает Соответствующая плотность термодинамического потенциала с учетом МЭ взаимодействия может быть представлена в виде [15]:

где δи b- соответственно константы однородного обмена и магнитной ани­зотропии, EnH- электрическое и магнитное поля соответственно, ∕₁-₃- комбинации МЭ констант, P - вектор электрической поляризации, xr₁,xr∣∣- ди­электрические восприимчивости (в дальнейшем полагаем, что ку = xr∣∣).

являются быстрыми по сравнению с собственными колебаниями спиновой подсистемы АФМ. В рамках феноменологической теории динамические свой­ства исследуемой модели МЭ кристалла описываются системой дифференци- Здесь ненулевые компоненты тензоров магнитной (//_±), диэлектрической (f_±) , МЭ (у) проницаемостей в явном виде могут быть представлены следующим образом [15]:

Так как целью данной работы является изучение спиновой динамики МЭ АФМ пластины толщиной 2dс нормалью к поверхности слояи са­

гиттальной плоскостью (XY), то система динамических уравнений (4.3.2)- (4.3.4):

121

должна быть дополнена соответствующими электродинамическими гра­ничными условиями. Для наглядности и простоты расчетов для выбранной структуры линейного МЭ взаимодействия будем полагать, что на обеих поверх­ностях рассматриваемого АФМ слоя x = +dс нормалью q || [100] выполнена следующая система граничных условий [122]:

Расчет показывает, что в этом случае при произвольной ориентации волно­вого вектора _в плоскости АФМ слоя с q ||ОХ характеристическое

уравнение для краевой задачи (4.3.10)-( 4.3.11) можно представить в виде:

Это означает, что пространственное распределение поля как электростати­ческого, так и магнитостатического потенциала, в рассматриваемом ограничен­ном АФМ отвечает двухпарциальной волне и в выбранной геометрии распро­странения имеет вид- радиус-вектор плоскости пластины):

Таким образом, с учетом МЭ взаимодействия γ₀ ≠ 0, спектр безобменных объ­емных спиновых колебаний, распространяющихся вдоль рассматриваемого

АФМ слоя (4.3.9)-(4.3.11), при любом 3определяется соотношениями вида:

122

Для частных случаев характер изменения структуры магнонного спектра (4.3.14) в зависимости от направления распространения волны в плоскости слоя (угла В) представлен на рисунке 10 и в Приложении 9.

Рисунок 10. Структура спектра объемных МЭ дипольных магнонов (4.3.17),

(4.3.18) в зависимости от выбора сагиттальной плоскости (угла ориентации вол-

Совместный анализ (4.3.7)-(4.3.9) и (4.3.14) показывает, что в пределе y₀—> 0 (пренебрежение МЭ взаимодействием, что отвечает пластине ЦС

123

АФМ), формирование распространяющихся объемных (η²> 0) безобменных спиновых волн за счет магнитодипольного механизма косвенного спин- спинового взаимодействия в рассматриваемом АФМ слое возможно практиче­ски при любом Q, за исключением Q = π/2[123].

то из (4.3.14) получим, что

Начнем анализ дисперсионных соотношений (4.3.14) с рассмотрения сле­дующих двух принципиально различных частных случаев ориентации сагит­тальной плоскости:

Анализ соотношений (4.3.17) показывает, что вследствие влияния МЭ взаимодействия спектр распространяющихся вдоль рассматриваемого АФМ слоя безобменных объемных спиновых волн даже в случае k ∈XZне только является двухзонным Ω_iv(Λ) (Ω_+v(Λ)>Ω_-v(Λ)), но и факторизуется, причем зоны частично совмещены друг с другом (см. рисунок 10,а). Их спектр соответ-

124

ственно определяется равенством нулю первой (для Ω__ν(Λ)) или второй (дляΩ_+v(Λ)) скобки в (4.3.17). В результате, в этой геометрии имеет место не­зависимое распространение двух типов объемных дипольных волн, один из ко­торых (о = Ω_+v(h))с учетом (4.3.13)-(4.3.15), (4.3.17) удовлетворяет уравнени­ям магнитостатики (4.3.2) и соответствующим граничным условиям для магни­тостатического потенциала φв (4.3.11).

Что касается = Ω,_v(Λ), то вследствие (4.3.13)-(4.3.15), (4.3.17) эти объ­емные дипольные волны удовлетворяют уравнениям электростатики (4.3.4), то­гда как соответствующий им электростатический потенциал ψобращается в ноль на обеих поверхностях слоя (4.3.11). Таким образом, в рассматриваемой геометрии (при k ∈XZ) вдоль МЭ слоя имеет место независимое распростра­нение объемных дипольных волн TM- (при zy = Ω_+v(Λ)) и ТЕ- (при о = Ω_-v(h))типа. Из (4.3.17) следует, что при любом h ≠ 0 формирующиеся в случае к ∈XZобъемные дипольные волны Ω_iv(Λ) являются волнами обратного типа (Λ5Ω_lv(Λ)∕5Λ < 0). Вследствие принятого условия ∕r₁ = ∕r∣∣, спектры Ω_±ν (Λ) имеют общую коротковолновую (формально при h—> ∞) точку сгуще­ния (ω_β3θ(_l9 = 0)= o_μκ(3 = Q) = о₀) , тогда как длинноволновая (формально при h→Q)точка сгущения спектра (4.3.17) у них разная: o = o_εдля Ω_+v(0) и o = o_μдля Ω__ν(0). Моды спектра объемных дипольных волн (4.3.17) с раз­ными номерами у и р, но принадлежащие одной зоне при любом h ≠ 0 не пе­ресекаются между собой. Однако из (4.3.17) следует, что при o₀ 0) магнитостатических спиновых волн, распространяющихся при k ∈XZ вдоль слоя скомпенсированного центросимметричного Л О АФМ (4.3.7) [123].

Качественно иной характер носит динамика объемных дипольных волн при В этом случае соотношения (4.3.12), (4.3.13), (4.3.18) харак­теризуют спектр ранее неизвестного типа распространяющихся объемных ди­польных волн (см. рисунок 10,6). Он представляет собой результат взаимодей­ствия дипольных волн TM- и ТЕ-типа и его формирование в АФМ слое обу­словлено наличием линейного МЭ взаимодействия, удовлетворяющего крите­рию (4.3.6). Сравнивая с (4.3.17), определяемый (4.3.18) новый тип объемных гибридных дипольных волн можно назвать безобменными МЭ магнонами по­скольку, как следует из (4.3.18), он обладает дисперсией, только если ∕_o≠0 (т.е. только при учете МЭ механизма косвенного спин-спинового взаимодейст­вия в рассматриваемом ограниченном АФМ (4.3.7)-(4.3.11)). Анализ (4.3.18) показывает, что также как и в случае (4.3.17), соответствующий спектр данно­го типа гибридных дипольных волн является двухзонным. Введем с помощью соотношения

характерные частоты а>_±, при любом номере моды у = 1,2,... отвечающие экстремумам дисперсионных кривых Ω_iv(Λ), описываемых (4.3.18). В резуль­тате, частотные интервалы, в которых располагаются на плоскости внешних параметров дисперсионные кривые Ω_iv(Λ) (Ω_+v(Λ)>Ω,_v(Λ)) двухзон­

ного спектра объемных гибридных дипольных волн (4.3.18), с учетом (4.3.15), определяются условиями:

При этом, в отличие от рассмотренного выше для k ∈XZспектра объем­ных дипольных волн TM- и ТЕ-типа (4.3.17), зоны в спектре объемных МЭ

126

Анализ показывает, что и в случае МЭ объемных магнонов определяемые

(4.3.18) -(4.3.22) дисперсионные кривыеобладают как и длин­

новолновой, так и коротковолновой точками сгущения спектра. Однако те­перь, в отличие от спектра (4.3.17), для данной зоны длинноволновая и корот­коволновая точки сгущения спектра вырождены по частоте (с учетом (4.3.15) со = со..= cυ,_aдля Ω_+v(Λ) и co = co_μ = co_μaдля Ω__ν(Λ). При этом для любого за­данного номера моды νспектр объемной дипольной МЭ волны, определяемой Участки дисперсионной кривой (4.3.18), (4.3.22), ограниченные этими точками экстремума и точками сгущения спектра, в зависимости от зоны и величины h будут отвечать либо волне прямого (h∂ω∕∂h>0), либо обратного (h∂ω∕∂h < 0) типа. В частности, для со= Ω_+l, (Л) волны прямого типа отвечают h < k_v+, тогда как для ω = Ω _v(Л) при h В > 0,то

9 7 7

расчет показывает, что для ω_ε- ω_μ» ω_τспектр объемных дипольных магно­нов (4.3.14), распространяющихся в рассматриваемом МЭ слое, приближенно может быть представлен в виде (v = 1,2,...):

Таким образом, при 9≠0спектр объемных дипольных волн (4.3.14) уже не факторизуется, однако, также как и при к є XZ (B = Q),возможно частич­ное перекрытие зон объемных дипольных волн теперь уже квази- TM (Ω_+v(Λ)) и квази -ТЕ (Ω__ν(Λ)) типа. Этот эффект сохраняется в интервале углов Q Я в каждой из зон Ω_+μ(Λ), Ω__μ(Л) форми­руется свое критическое значение Q, начиная с которого спектр объемных ди­польных магнонов, определяемый (4.3.14), (4.3.24), начинает существенно трансформироваться по сравнению со случаем (4.3.17) (см. Приложение 9). Физической причиной такой трансформации является преобладание МЭ меха­низма формирования спектра объемных гибридных дипольных волн над маг­нито- и электростатическим механизмом. Обозначим такие критические значе­ния Qкак Q = Q₊для со = Ω_+v (h)и Q = Q_для ω = Ω-_v(h).Из (4.3.14), (4.3.24) следует, что

129

причем вследствие (4.3.15), (4.3.25) - (4.3.26) имеет место соотношение

. Качественная перестройка спектра объемных гибридных диполь­ных волн (4.3.14) индуцированная МЭ взаимодействием, происходит при (см. Приложе­ние 9). В этом случае происходит изменение частотного интервала, в котором возможно формирование двухзонного спектра объемных гибридных диполь­ных волн (4.3.14):

где &>+($) - характеристические частоты, независимо от номера моды у определяющие для заданной ориентации направления распространения волны (угла 3) значения экстремумов дисперсионных кривых, принадлежащих двух- ждой из которых становится возможным распространение с одной и той же частотой объемной дипольной волны как прямого, так и обратного типа . В це­лом, в этих частотных интервалах структура спектра (4.3.14), (4.3.24) приобре­тает особенности, характерные для спектра объемных МЭ магнонов (4.3.18) (см. Приложение 9). В частности, помимо уже перечисленных особенностей дисперсионных свойств, в этих “дополнительных” диапазонах частот для лю­бых номеров мод спектра гибридных дипольных волн , принадлежащих одной и той же зоне, при ненулевых значениях волнового числа, аналогично (4.3.23) , появляются точки вырождения спектра

130

Ранее условия формирования в магнитном слое подобных точек, необходимых для возникновения неоднородного спин-спинового резонанса, обсуждались

Выводы к главе IV

Таким образом, если прозрачная пластина ЦС АФМ в “spin-flop” фазе (нормаль к поверхности пластины - q ) находится в скрещенных взаимно орто­гональных магнитном H₀и электрическом E₀полях (E₀лежит в сагиттальной плоскости), то в геометрия Фогта для падающей на нее извне объемной ЭМ волны TM- (ТЕ-) типа реализуются следующие эффекты:

1) для заданного значения частоты волны ωусловие полуволнового про­хождения невзаимно относительно инверсии знака угла падения {h θ -h), а для заданных ωи hмодуль фазы коэффициента прохождения W_aне взаимен отно­сительно инверсии знака Eθq;

131

2) кинематические свойства прохождения полуволнового слоя объемной волной TM- (ТЕ-) типа однозначно связаны не с локальной геометрией сечения сагиттальной плоскостью ПВВ полупространства, а с локальной геометрией се­чения сагиттальной плоскостью ПВВ слоя. Для заданных ωи hсечение ПВВ слоя определяется как полуразность соответствующих значений (kq) на сече­нии ПВВ полупространства;

3) для заданной частоты волны ωпоперечное волновое число h, соответ­ствующее центру ПВВ слоя, обладает тем свойством, что для него проекция по­тока энергии на направление распространения волны равна нулю. При этом зна­чении hточки на ПВВ полупространства обладают следующим свойством: про­екция потока энергии на направление распространения волны вдоль пластины является нечетной функцией знака нормали к границе раздела сред q;

4) условие полуволнового прохождения эквивалентно дисперсионному соотношению для объемных поляритонов рассматриваемой АФМ пластины, обладающей нулевыми значениями поверхностного волнового импеданса (для волн ТМ-типа) или нулевыми значениями поверхностного волнового адмиттан­са (для волн ТЕ-типа). Это условие - ЭМ аналог правила совпадений для упру­гой волны, падающей извне на твердую пластину в жидкости;

5) условие полуволнового прохождения пластины объемной волной TM- (ТЕ-) типа идентично спектру особого типа объемных вытекающих полярито­нов: для этих пар значений ωи hна одну из поверхностей пластины в симмет­ричном окружении падает объемная волна TM- (ТЕ-) типа, но нет отраженной, а с другой поверхности пластины объемная волна этой же поляризации уносит энергию в нижнее полупространство. Поскольку при этом волна в пластине не затухает, а число независимых амплитуд равно числу граничных условий, то можно утверждать, что условие полуволнового прохождения пластины отве­чает спектру типа волноводных поляритонов слоя для отмеченного специфи­ческого типа граничных условий.

6) существуют частотные интервалы, в которых для объемной волны TM- (ТЕ-) типа с заданными ωи hнаправление потока энергии, переносимого

132

вдоль пластины, изменяется на противоположное при инверсии знака H₀орто­гонального сагиттальной плоскости или знака Eθq.

7) для падающей извне на АФМ пластину объемной волны TM- или ТЕ- типа становится возможным возникновение условий для резонанса Фано: пол­ного отражения от пластины падающей волны поляризации TM- (ТЕ-) типа при одновременном резонансном возбуждении в АФМ пластине бегущей объемной волны ТЕ- (ТМ-) типа соответственно. Необходимой предпосылкой является наличие слабого возмущения, нарушающего условие независимого распростра­нения в рассматриваемой АФМ среде нормальных магнитных поляритонов s- и р- поляризации,

8) Интерференция магнитодипольного и электродипольного механизмов косвенного спин-спинового взаимодействия может приводить к формированию нового класса распространяющихся гибридных дипольных волн: безобменных объемных МЭ магнонов. В рассматриваемой модели АФМ магнитоэлектрика спектр таких магнонов имеет двухзонный характер, обладает как длинно-, так и коротковолновой точками сгущения спектра, а число мод образует бесконеч­ное счетное множество. При заданном номере моды соответствующая диперси- онная кривая, в зависимости от величины продольного волнового числа, может отвечать волне прямого или обратного типа, а в точке смены типа волны поток энергии, переносимый вдоль МЭ слоя данной модой спектра безобменных маг­нонов, равен нулю. В общем случае любые две моды спектра безобменных МЭ магнонов могут резонансно взаимодействовать друг с другом.

133