<<
>>

12. Простые и сложные проценты

Давая деньги в долг, кредитор упускает возможность использовать их до момента возврата, поэтому заемщик выплачивает компенсацию за упущенную возможность альтернативного вложения денежных средств, которая обычно выражается в форме процента.

Процент начисляется на основную сумму вклада (займа) по установленной процентной ставке с определенной периодичностью, например, раз в месяц, квартал, раз полугодие или ежегодно.

Существует два способа начисления процентных выплат: начисление по схеме простого процента и начисление по схеме сложного процента.

Рассмотрим вложение 1 000 рублей на банковский вклад сроком на 3 года при ставке 10 % годовых.

По прошествии каждого года вкладчик получает процентный доход по вкладу в размере 10 % от суммы вклада. Результаты вложения приведены в таблице 12.1.

Таблица 12.1

Начисление простых процентов

Период вложения Доход за период при процентной ставке 10% годовых Сумма на счете на конец периода Снято со счета по прошествии периода Остаток на счете на конец периода
1 год 1000 х 10% = 100 1000 + 100 = 1100 100 1 000

2 год 1000 х 10% = 100 1000 + 100 = 1100 100 1 000
3 год 1000 х 10% = 100 1000 + 100 = 1100 100 1 000

За 3 года инвестор получил 100 рублей по окончании первого года, 100 рублей по оконча­нии второго года и 100 рублей по окончании третьего года. В результате в течение всего сро­ка вклада получено 300 рублей процентных платежей.

С учетом первоначальной суммы 1000 рублей сумма по вкладу составит 1 300 рублей по окончании 3-х лет.

Таким образом простой процент начисляется на одну и ту же первоначальную сумму вклада, т. е. процентные платежи, периодически начисляемые заемщиком, тут же изымают­ся кредитором, т. е. не реинвестируются

Рассмотрим вложение 1000 рублей на банковский депозит сроком на 3 года при ставке 10 % годовых при условии, что владелец НЕ снимает в конце каждого года полученные в ка­честве процентного дохода 100 руб., а оставляет их на счете.

Таблица 12.2

Начисление сложных процентов

Период вложения Сумма на начало периода Доход за период Снято со счета по прошествии периода Остаток на счете на конец периода
1 год 1 000 100 0 1 100
2 год 1100 110 0 1210
3 год 1210 121 0 1 331

Сумма процентных платежей составит в данном случае 331 рубль. По окончании трех лет сумма вклада с учетом процентных платежей составит 1 331 рубль.

Таким образом, результаты инвестирования по схеме сложного процента превосходят ре­зультаты инвестирования по схеме простого процента на 31 рубль.

Сложный процент начисляется исходя из ставки процента и суммы на счете на начало очередного периода, включающей накопленный доход. Поскольку доход от вклада, перио­дически начисляемый заемщиком, не изымается кредитором, а остается у заемщика, увели­чивая сумму займа, естественно, эта схема подвергает кредитора большему риску, поэтому кредитор получает большее вознаграждение.

При инвестировании свободных средств в различные ценные бумаги инвестор стремится получить максимальную выгоду от своих вложений. Исходя из предположения абсолютной надежности всех способов инвестирования для того, чтобы выбрать наиболее выгодный способ инвестирования, необходимо сравнить полученные доходы. Однако доходы могут поступать в разное время, таким образом, разные способы инвестирования приводят к раз­ным графикам получения денег.

Естественным способом сравнивать денежные поступления в разные сроки является приведение их к одному и тому же моменту времени. Как правило, в качестве такого момен­та выбирают или момент начала инвестиций, или некоторый фиксированный момент в буду­щем. Приведение денежных потоков к начальному моменту называется дисконтированием или вычислением настоящей (present value) стоимости (текущей, современной стоимо­сти). Вычисление будущей стоимости (future value), т. е. стоимости к фиксированному мо­менту в будущем называется наращением.

Расчет настоящей, будущей стоимости и ставки процента при начислении процентных платежей по схеме простого процента

При начислении простого процента мы находим будущую стоимость следующим образом:

, где (12.1)

FV — будущая стоимость,

PV — текущая стоимость (первоначальная сумма вклада, вложения),

г — ставка процента в периоде начисления в долях единицы,

n— число периодов начисления.

Выражение (1 + rn) носит название коэффициента наращения.

Формула (12.1) используется в том случае, если процентные ставки в течении n лет остаются неизменными. Если ставки меняются, то используется следующая формула:

. (12.2)

Вычисление настоящей стоимости или дисконтирование осуществляется по следующей формуле:

, где (12.3)

FV — будущая стоимость,

PV — текущая стоимость (первоначальная сумма вклада, вложения),

г — ставка процента в периоде начисления в долях единицы,

n — число периодов начисления.

Выражение носит название коэффициента дисконтирования.

Зная настоящую и будущую стоимость, нетрудно вычислить процентную ставку в перио­де начисления.

(12.4)

Расчет настоящей, будущей стоимости и ставки процента при начислении процентных платежей по схеме сложного процента

Вернемся к начислению сложного процента, в большей степени присущего природе бан­ковских операций по начислению процентов по депозитным вкладам.

При начислении сложного процента мы находим будущую стоимость по следующей формуле:

, где (12.5)

FV — будущая стоимость,

PV — текущая стоимость,

г —. ставка процента в периоде начисления в долях единицы,

n — число периодов начисления.

Выражение (1 + г)" называется коэффициентом наращения.

В случае одного периода (n = 1) формулы расчета будущей стоимости по схеме простого и сложного процента совпадают, т. к. в случае одного временного интервала реинвестирова­ния не происходит и условия заимствования фактически совпадают.

Формула (12.5) используется в том случае, если процентные ставки в течении n лет остаются неизменными. Если ставки меняются, то используется следующая формула:

(12.6)

Если начисления процентов осуществляются m раз в году, то формула (12.5) преобразуется следующим образом:

. (12.7)

Дисконтирование — это расчет, обратный наращению. При дисконтировании мы узнаем, какую величину составляет в момент расчета известная в будущем стоимость денег. Мы на­ходим текущую стоимость по следующим формулам:

, (12.8)

, (12.9)

.

(12.10)

FV — будущая стоимость,

PV — текущая стоимость,

г — ставка процента в периоде начисления в долях единицы,

n — число периодов начисления.

Выражение называется коэффициентом дисконтирования. Очевидно, он равен величине, обратной величине коэффициента наращения. Рассмотрим конкретные примеры вычислений.

Зная настоящую и будущую стоимость можно найти процентную ставку, используя следующую формулу:

. (12.11)

Эффективная годовая процентная ставка

Многообразие форм кредитования и инвестирования обуславливает необходимость нахождения критерия наиболее выгодного помещения капитала. Предположим, банк А предлагает 15,5 % ежеквартально, а банк Б 15,2 % ежемесячно. Что выгоднее? Для того чтобы ответить на этот и подобные вопросы, вводится вспомогательное понятие – эффективная процентная ставка.

Эффективная годовая процентная ставка – это процент, начисляемый за год лишь один раз и дающий тот же результат, что и сложные проценты с начислением m раз в году.

. (12.12)

А = 16,4244 %,

Б = 16,3049 %.

Таким образом, 15,5 % ежеквартально дает больший годовой доход, чем 15,2 % ежемесячно.

12А. Решите задачи.

Задача 1

Вкладчик положил в банк 1 500 000 руб. Банк выплачивает простые проценты по ставке 14 % годовых. Проценты начисляются раз в год. Какая сумма бу­дет на счете у вкладчика через полтора года?

Задача 2

По окончании 2-го года на счете клиента банка находится сумма 13 500 200 руб. Начисление процентов в банке происходило по схеме простого процента в конце каждого квартала по ставке 16% годовых.

Рассчитайте первоначальную сумму вклада.

Задача 3

Вкладчик положил в банк 200 000 руб. в начале 2005 г. Банк начислял простые про­центы. В предположении, что вкладчик не снимал денег со своего счета, определи­те процентную ставку банка, если в начале 2007 г. на счете вкладчика было 500 000 руб.

Задача 4

Вкладчик положил в банк 100 000 руб. в начале 2007 г. Банк выплачивал следующие простые процентные ставки: 2007г. — 16 % годовых; 2008г. — 15 % годовых; 2009 г. — 17 % годовых. В предположении, что вкладчик не снимал процентные платежи со своего счета, определите, какая сумма будет на его счете в начале 2009 г.

Задача 5

Вкладчик положил в банк некоторую сумму в начале 2007 г. Банк начислял с перио­дичностью раз в полгода следующие простые процентные ставки: 2007 г. — 18 % годовых; 2008 г. — 14 % годовых; 2009 г. — 16 % годовых. В предположении, что вкладчик не снимал денег со своего счета, определите, какую сумму он положил в банк, если на его счете в середине 2009 г. было 550 000 руб.

Задача 6

Вкладчик положил в банк некоторую сумму в начале года. Банк начисляя простые проценты, причем за второй год в полтора раза выше, чем за первый, а за тре­тий — в размере 80% от второго. В предположении, что вкладчик не снимал денег со своего счета, определите процентную ставку за первый год, если в начале чет­вертого года на счете вкладчика была сумма, в 3 раза превышающая первоначальную.

Задача 7

Вкладчик положил в банк 200 000 руб. в начале года. Банк начислял простые процен­ты в размере 140 % от ставки рефинансирования ЦБ РФ в течение следующего года, 110% от этой ставки в течение второго года и 90% в течение третьего года. В предположении, что вкладчик не снимал денег со своего счета и ставка рефинанси­рования не менялась в течение трех лет, определите ставку рефинансирования ЦБ РФ, если в начале третьего года на счете вкладчика было 225 300руб.

Задача 8

Вкладчик положил в банк 250 000 руб. Банк выплачивает 12 % годовых. Проценты сложные. Какая сумма будет на счете у вкладчика через два года.

Задача 9

Банк выплачивает 12% годовых. Проценты сложные. Какую сумму требуется раз­местить вкладчику в банке, чтобы через 2 года у него было не менее 1 600 000 руб.

Задача 10

Вкладчик положил в банк 105 300 руб. Банк выплачивает сложные проценты за пер­вый год в размере 15 %, а за второй год — в размере 17 % годовых. Какая сумма бу­дет на счете у вкладчика через два года?

Задача 11

Банк выплатил за первый год проценты по ставке Сбербанка, а за второй год на 20% выше, чем в Сбербанке. Проценты сложные. Какую сумму требуется размес­тить вкладчику в банке, чтобы через 2 года его вклад был не менее 800 000 руб., если ставка Сбербанка все два года была равна 14% годовых.

Задача 12

Банк выплачивает сложные проценты. Вкладчик разместил в банке 109 580 руб. Ка­кую минимальную процентную ставку должен обеспечить банк для того, чтобы вкладчик через два года имел на счете 150 000 руб.

Задача 13

Банк выплачивает сложные проценты. Какую процентную ставку должен обеспе­чить банк для того, чтобы вкладчик утроил свои средства за 4 года.

Задача 14

Банк выплачивает сложные проценты. Вкладчик разместил в банке 15 000 руб. Сколько лет потребуется вкладчику для того, чтобы его вклад достиг 21 600 руб., если банк выплачивает 20 % годовых.

Задача 15

Инвестор разместил на депозит в банке 1 000 000 руб. сроком на 5 лет. Банк начисля­ет 15% годовых раз в год. По истечении 1-го и 2-го годов инвестор снимал процен­ты по вкладу наличными, а потом уехал за границу в командировку на 3 года и оставшиеся проценты получил только при закрытии банковского счета. Какую сумму процентных платежей получил инвестор суммарно.

Задача 16

Инвестор имеет 1 000 000 руб. вначале 2008 г. Он хочет разместить их с целью полу­чения дохода, так чтобы в начале 2014 г. у него было не менее 2 500 000 руб. для по­купки квартиры. Банк А предлагает вклад с начислением 15% раз в полгода. Банк Б предлагает вклад под 18% годовых с начислением процентов раз в год. Проценты сложные. В каком из банков следует разместить свои средства инвестору при прочих равных условиях.

Задача 17

По банковскому вкладу ежеквартально начисляют доход 2% от первоначальной суммы вклада. Найти годовую процентную ставку с учетом реинвестирования по­лученного дохода.

Задача 18

Вам встречается два рекламных объявления. Один банк предлагает 18 % ежеквартально, а другой 17,5 % ежемесячно. Что выгоднее?

<< | >>
Источник: Ардисламов В. К., Ардисламова О. В., Ландарь М. В.. Деньги Кредит. Банки: Учебное пособие. – Уфа: РИО УГАТУ, 2009. – 216 с.. 2009

Еще по теме 12. Простые и сложные проценты:

  1. 20 Вещи как объекты гражданского права.
  2. Оценка аппаратной сложности коммутационного устройства
  3. Построение имитационной модели коммутационного устройства
  4. Концепция матричных мультипроцессоров
  5. 24. Условия действительности сделок
  6. Цели и задачи исследования
  7. Основные результаты и выводы
  8. 35 Размер гражданско-правовой ответственности
  9. Исследование процесса прессования шихты низколегированных порошковых сталей
  10. Способы формования порошковых материалов
  11. 6. Правоспособность граждан
  12. Понятие, сущность и цели надзора Банка России за деятельностью кредитных организаций
  13. Анализ гранулометрического состава