4.1. Сравнительный анализ метода квантильного хеджирования и метода хеджирования ожидаемых потерь

Методы квантильного хеджиования и хеджирования ожидаемых потерь относятся к методам несовершенного хеджирования. Они позволяют понизить стоимость хеджирования, допуская риск возникновения потерь.

Представленные методы определяют риск разными способами, и как было показано, разные критерии применяются для нахождения множества хеджируемых состояний. Метод квантильного хеджирования определяет риск, как вероятность возникновения потерь. Величина возможного убытка не оказывает влияния на решение о воспроизведении выплат в некотором состоянии или отказе от него. Напротив, согласно методу хеджирования ожидаемых потерь, риск определяется, как ожидаемый убыток. В этом случае и величина выплаты, и ее вероятность принимаются во внимание.

Структура множества успешного хеджирования зависит от применяемого метода и от параметров модели. В предыдущих разделах мы показали, что в рамках одной и той же концепции, характеристики базового процесса, спецификация контракта и процентная ставка определяют множество хеджируемых состояний. На рисунке 39 представлены комбинации среднего темпа роста μ,волатильности σи процентной" ставки г, определяющие вид множества успешного хеджирования.

Рис. 39: Детерминанты множества успешного хеджирования

Возможны три случая. Рассмотрим их более подробно на примере опциона колл. В случае квантильного хеджирования, форма множества успешного хеджирования зависит от того, превышает ли выражениеединицу

или нет. В первом случае (область I), множество успешного хеджирования состоит из двух зон.

отрицательно зависит от величины начального капитала, и соответственно, от вероятности успеха. Еслименьше единицы (области IIи IIIна

графике 39), то множество успешного хеджирования охватывает состояния с курсом базового актива ниже некоторой границы h₃.

Разность между средним темпом роста μи процентной ставкой г определяет форму множества успешного хеджирования в случае хеджирования ожидаемых потерь. Если средний темп роста превышает процентную ставку (области Iи IIна графике 39), то воспроизводятся выплаты в состояниях справа от некоторой границы h₄.В противном случае (область 7), множество успешного хеджирования ограничено сверху границей A₅. В таблице представлены возможные структуры множества успешного хеджирования в зависимости от параметров модели на примере опциона колл.

Таблица 2: Множество успешного хеджирования в зависимости от параметров модели

(на примере опциона колл)

В зависимости от метода хеджирование, структура множества успешного хеджирования отличается на областях Iи II. Они соответствуют ситуации, в которой средний темп роста превышает процентную ставку. В этом случае, хеджирующая стратегия может быть оптимальна только согласно одному из критериев риска - либо квантиля, либо ожидаемых потерь. Напротив, если средний темп роста не превышает процентную ставку, то множества хеджируемых состояний совпадают. Тогда хеджирующая стратегия, оптимальная по одному критерию, также оптимальна и по другому.

Рассмотрим описанную взаимосвязь на примере опциона колл с ценой исполнения 100 и сроком исполнения 0.1. Базовый процесс начинается на уровне 100 и имеет волатильность 0.20. Процентная ставка составляет 0.06. Предположим, что средний темп роста базового процесса равен 0.15. В этом случае выполняется условиечто соответствует области Iрисунка

39. Применяя метод квантильного хеджирования, зависимость вероятности успеха и ожидаемого успеха от стоимости хеджирования имеет вид, представленный на рисунке 40.

Рис. 40: Вероятность успеха и ожидаемый успех в случае квантильного хеджирования, если выполняется условие I

Вероятность успеха является выпуклой, а соответствующий ожидаемый успех - вогнутой функцией от стоимости хеджирования. Соответственно, хеджирующая стратегия является оптимальной' с точки зрения вероятности успеха, но она не способна минимизировать ожидаемый убыток на заданном ограничении на капитал.

Если применяется метод хеджирования ожидаемых потерь, то зависимость между ожидаемым успехом и стоимостью хеджирования выпукла. В тоже время, вероятность успеха прирастает меньшими темпами, чем увеличивается стоимость хеджа. Соответственно, хеджирующая стратегия оптимальна с точки зрения критерия ожидаемого успеха, но не является оптимальной по критерию квантиля. Рисунок 41 иллюстрирует успех хеджирования.

Рис. 41: Вероятность успеха и ожидаемый успех в случае хеджирования ожидаемых

потерь, если выполняется условие

Понизим средний темп роста μдо 0.07 и перейдем к области IIрисунка 39.

Рис. 42: Вероятность успеха и ожидаемый успех в случае квантильного хеджирования, если выполняется условие

В случае хеджирования ожидаемых потерь зависимость между ожидаемым успехом и стоимостью хеджирования выпукла. Однако вероятность успеха

возрастает увеличивающимися темпами роста при росте начального капитала. И в этом случае хеджирующая стратегия оптимальна только по отдельному критерию риска, положенного в основу выбранного метода хеджирования.

Рис. 43: Вероятность успеха и ожидаемый успех в случае хеджирования ожидаемых

потерь, если выполняется условие

Теперь перейдем к случаю, в котором средний темп роста меньше процентной ставки, и множества успешного хеджирования совпадают. Хеджирующие портфели, построенные согласно обоим методам, охватывают одно и тоже множество состояний. Соответственно, они оптимальны по обоим критериям. На рисунке 44 видно, что вероятность успеха и ожидаемый успех являются выпуклыми функции от стоимости хеджирования.

Рис. 44: Вероятность успеха и ожидаемый успех, если средний темп роста не превышает

процентную ставку

Важную роль в формировании зависимости между успехом и стоимостью хеджирования играет тип опциона и его особенности.

Таблица 3: Множество успешного хеджирования в зависимости от параметров модели

(на примере опциона пут)

В отличие от случая с опционом колл, множества успешного хеджирования обоих методов совпадают, если средний темп роста превышает процентную ставку. Это условие более реалистично. В обоих случаях выплаты опциона воспроизводятся в состояниях, в которых курс базового актива превышает некоторую границу. Соответственно, хеджирующий портфель оптимален как с точки зрения вероятности успеха, так и с позиций'минимизации ожидаемых потерь. Напротив, если процентная ставка превышает средний темп роста, то хеджирование может быть оптимальным только по одному из критериев.

Примеры хеджирования опционов колл и пут показали, что хеджирующая стратегия может быть оптимальной с точки зрения максимизации вероятности успеха и минимизации ожидаемых потерь, если средний “темп роста, волатильность и процентная ставка находятся в определенном отношении. Конкретная форма этого отношения зависит от вида опциона и его характеристик.

4.2.