Развитие теории хеджирования и ценообразования опционов после открытия модели Блэка-Шоулса

Через несколько лет после открытия модели Блэка-Шоулса Кокс и Росс (1976) [74] представили метод риск-нейтральной оценки (risk neutral valuation). Он открыл путь для разработки множества подходов к оценке опционов с использованием метода биномиального дерева или метода статистических испытаний (метод Монте-Карло) для моделирования стоимости активов в будущем.

Биномиальная модель Кокса-Росса-Рубенштейна основывается на упрощающем предположении о том, что за каждый" достаточно короткий' период времени курс базового актива может перейти из исходного состояния только в одно из двух возможных состояний. В стандартной модели используется рекомбинационное биномиальное дерево (решетка) с постоянной волатильностью и процентной ставкой. Формула для оценки стоимости опциона выводится при помощи метода обратной индукции. В предельном случае, если устремить длительность каждого периода времени к нулю, полученный результат совпадает с формулой Блэка-Шоулса.

В настоящей работе биномиальная модель Кокса-Росса-Рубенштейна служит основой для представления методов хеджирования опционов, поэтому имеет смысл рассмотреть ее более подробно. Предположим, на рынке имеется два актива - безрисковый банковский счет B_tи рисковый актив S_t.Банковский

счет представляет собой возможность вложения и кредитования под фиксированную процентную ставку г, известную заранее. В роли рискового актива может выступать акция, облигация, товар, валюта или другие торгуемые ценности.

Используя мультипликативную зависимость будущего курса рискового актива от его настоящего значения, все возможные в каждый момент времени курсы могут быть изображены с помощью рекомбинационного биномиального дерева (решетки).

Рис. 8: Биномиальная решетка

Отличительной особенностью биномиальной решетки является наличие узлов, которые могут быть достигнуты различными путями. К примеру, на рисунке 8 курсв момент времени t=2может быть реализован двумя

способами - либо сначала прыжок вверх, а потом вниз, либо сначала вниз, а потом вверх:

Такое свойство биномиальной модели называется независимостью пути (path independence). Она достигается благодаря использованию мультипликаторов и и dдля установления зависимости будущего курса от стартового значения. Независимость пути дает возможность однозначно определить каждый узел биномиальной решетки, задав момент времени и количество прыжков в одном направлении, совершенных с момента старта. На рисунке 8 верхний индекс в обозначении курса соответствует количеству прыжков вверх, а нижний индекс указывает на момент времени.

Добавим в рассматриваемую модель рынка производный инструмент C_tсо сроком исполнения Т, выплаты которого зависят от стоимости рискового актива. Стоимости трех активов рынка в последующие моменты времени Tи T-Iпредставлены на фрагменте биномиальной решетки на рисунке 9.

Рис. 9: Фрагмент биномиального дерева

Стоимость рискового активаи банковского счета B_{τ t}на настоящий момент времени T-Iизвестны. К моменту времени Tкурс рискового актива может принять два значения, для каждого из которых можно рассчитать выплаты производного инструмента C_r-Задача заключается в определении

стоимости производного инструмента в момент времени T-1. Для этой цели построим портфель из рискового актива и банковского счета, выплаты которого в момент времени Tсовпадают с выплатами производного инструмента в каждом из состояний. Должны выполняться следующие условия:

гдеобозначают количество единиц рискового актива и

банковского счета соответственно. Используя зависимостии

приходим к следующим значениям коэффициентов веса:

Выплаты портфеля изединиц рискового актива иединиц

банковского счета совпадают с выплатами производного инструмента в момент времени Т. Следовательно, при отсутствии арбитража их стоимости в момент времени T-1равны и составляют:

Описанную процедуру можно повторить для каждого узла, передвигаясь обратно во времени от конца биномиальной решетки к ее началу.

Выделив в отдельную константу qпостоянные факторы прыжка и и dи постоянную процентную ставку по банковскому счету г, формулу для оценки стоимости реплицирующего портфеля можно преобразовать в следующий вид:

Константа qпредставляет собой искусственную вероятность. Она не несет какого-либо экономического содержания, а выполняет исключительно техническую функцию. Если рынок свободен от арбитража и выполняется условие и >1+г >d,искусственные вероятности принадлежат интервалу от нуля до единицы, не включая границы.

Формулу (10) можно использовать для расчета стоимости производного инструмента в каждом из узлов биномиальной решетки. Для начального узла имеем:

Каждое слагаемое ів формуле (11) представляет произведение из искусственной вероятности, что курс базового актива до момента исполнения совершит ровно іпрыжков вверх, и выплат производного инструмента в этом случае. Иными словами, стоимость производного инструмента равна дисконтированному математическому ожиданию выплат производного инструмента при искусственной мере вероятности. Вероятность qчасто называют риск-нейтральной.

В настоящее время методы Блэка-Шоулса и риск-нейтральной оценки нашли широкое применение для определения стоимости опционов и других

производных инструментов. Они породили новую научную отрасль на стыке экономики, теории вероятностей и математики - финансовую инженерию (financial engineering), специалисты которой занимаются разработкой моделей для оценки производных инструментов.

Метод риск-нейтральной оценки широко использует положения стохастического исчисления для смены вероятностной'' меры и перехода из реального "физического" мира в мир "риск-нейтральный" и обратно. По этой причине его часто называют методом оценки при помощи стохастического исчисления (stochastic calculus approach).

Следует сразу отметить, что реализовать самофинансируемую стратегию репликации не всегда возможно. Финансовые рынки, обладающие тем свойством, что платежная функция всякого опциона воспроизводима в виде капитала некоторой самофинансируемой стратегии, называются полными [13]. Указанное свойство позволяет противопоставить опциону эквивалентный набор базовых активов, что чрезвычайно удобно на практике.

В работах Харрисона и Kpenca (1979) [90] и Гаррисона и Плиска (1981 и 1983) [91, 92] было показано, что финансовый рынок является полным тогда и только тогда, когда помимо физической меры вероятности существует единственная эквивалентная ей мартингальная вероятностная мера, относительно которой дисконтированные цены активов являются локальными мартингалами. Эти работы вскрыли "мартингальную" структуру свойства рынка быть полным [21, 25].

Основная сложность работы с моделями полного рынка заключается в том. что необходимо точно знать параметры модели. Например, для применения модели Блэка-Шоулса необходимо точное знание краткосрочной процентной ставки и волатильности в каждый момент времени в будущем, что в принципе невозможно. Учет же стохастического характера этих двух переменных приводит к тому, что модель становится неполной" то есть хеджирующая стратегия уже не является самофинансируемой. В этом случае применяется стратегия сверх-хеджирования (суперрепликации), стоимость которой задается как супремум математического ожидания выплат при всех эквивалентных мартингальных вероятностных мерах [86].

Одной из первых работ, посвященных проблематике хеджирования опционов в неполных финансовых рынках, является работа Эль-Каруи и Кунез (1995) [85]. Ученые показали, что общая методика хеджирования производных инструментов на неполных финансовых рынках требует применения достаточно нетривиальных методов стохастической теории.

волатильности как авторегрессионного процесса условной" неоднородности (ARCH, GARCH, HARCH,...).

Однако, к сожалению, даже сложнейшие с математической точки зрения модели неполных рынков являются чересчур идеалистическим приближением реальности, что приводит к необходимости введения в

рассмотрение рынков с ограничениями. Примерами ограничений могут служить взимание некоторой платы за открытие короткой'позицию по акции, наличие разницы в процентных ставках привлечения и размещения денежных средств, ограничение на объем привлекаемых финансовых ресурсов, законодательные ограничения, транзакционные издержки и т.д.

Для моделей с непрерывными ценами активов методика хеджирования при наличии ограничений была развита в работе Цвитаника и Каратцаса (1993) [77]. Отметим также работу Корна (1995) [106], в которой рассматривалась задача хеджирования в модели с различными процентными ставками привлечения и размещения.

Еще одна возможность приблизить модели к реальности заключается в рассмотрении транзакционных издержек как в узком (комиссионные сборы), так и в широком смысле (расходы на поддержание инфраструктуры, людские ресурсы и др.). Этим вопросам посвящены работы Ширяева А.Н [55], а также Бенседа и др. [64] и Бойл и др. [69].

Отрасль финансовой математики и финансовой инженерии бурно развивается, и постоянно появляются новые научные труды по вопросам хеджирования и ценообразования производных инструментов. В рамках настоящего исследования не представляется возможным охватить весь круг существующих работ, можно выделить лишь их основные классы. Более подробный обзор с описанием тенденций развития финансовой инженерии представлен в книгах [68, 94, 100, 115].

На рисунке 10 приведена рабочая классификация моделей хеджирования и нахождения цены производных инструментов. Ее ядро образуют модели полного рынка, к которым, к примеру, относится знаменитая модель Блэка- Шоулса. Снятие некоторых предположений этой модели (относительно постоянной волатильности, постоянных процентных ставок) приводит к

тому, что не для всех производных инструментов может быть найдена единственная стратегия репликации, то есть рынок становится неполным. В целях дальнейшего приближения к реальности в модели могут вводиться дополнительные ограничения, что позволяет выделить их в отдельный класс. Рассмотрение в моделях транзакционных издержек еще сильнее приближает их к реальности.

Рис 10: Классификация методов хеджирования производных инструментов.

Если взглянуть на совокупность моделей под несколько другим углом, а именно с точки зрения успеха самофинансируемой хеджирующей стратегии, то все многообразие видов хеджирования можно разделить на две группы. Первую группу составляют методы совершенного хеджирования (perfect hedge), направленные на воспроизведение выплат производного инструмента в каждый момент времени и в полном размере. В отсутствие арбитража капитал стратегии совершенного хеджирования определяет стоимость

производного инструмента. Ко второй группе относятся методы несовершенного хеджирования (imperfect hedge). В них выплаты производного инструмента сознательно не воспроизводятся в некоторых случаях. За счет риска возникновения потерь достигается выигрыш в стоимости реализации стратегии хеджирования.

В настоящее время стратегии совершенного хеджирования утвердились в качестве стандартного подхода финансовой инженерии, нашедшим широкое признание в теории и практики управления риском. На основании предположений модели капитал таких стратегий задается особенностями рынка и характеристиками производного инструмента. К примеру, в рамках модели Блэка-Шоулса опцион может быть совершенно защищен от риска при помощи динамического хеджа. Для его построения требуется знание шести параметров - процентной ставки, цены и срока исполнения опциона, цены и волатильности базового актива, и, если имеются, выплат базового актива в течение срока исполнения (например, дивиденды) [74]. Все эти параметры либо наблюдаются на рынке, либо достаточно просто оцениваются.

Несомненное достоинство стандартных методов совершенного хеджирования состоит в том, что если выполняются предположения модели, они позволяют найти стоимость срочной" позиции вне зависимости от характеристик ее владельца. Однако они не учитывают ожидания держателя срочной позиции, его отношение к риску, а также особенности его инвестиционной стратегии.

Новый подход к управлению риском срочной позиции предлагают методы несовершенного хеджирования. Их главная особенность состоит в том, что при осуществлении хеджирующей" стратегии сознательно допускается возможность возникновения потерь. За счет этого риска достигается экономия затрат на хеджирование производного инструмента.

Методы несовершенного хеджирования позволяют защищать срочную позицию от риска в зависимости от ожиданий'ее владельца, его склонности к риску и особенностей его инвестиционной стратегии. Хеджирующий портфель может формироваться на основании представлений держателя о будущей динамике базового актива. Экономия капитала хеджирующей стратегии открывает новые возможности для управления риском совокупной инвестиционной стратегии. Снижение стоимости защиты от риска позволяет на контролируемом уровне риска высвободить капитал для новых вложений, что увеличивает степень диверсификации портфеля инвестиций.

Иными словами, методы несовершенного хеджирования открывают новые возможности для более эффективного управления риском срочной ПОЗИЦИИ C учетом ожиданий ее владельца, его отношения к риску и особенностей его инвестиционной стратегии.

1.3.