Оценка эффективности методов несовершенного хеджирования опционных позиций на российском фондовом рынке

Эмпирическая проверка представленных концепций хеджирования основывается на наиболее распространенном в силу своей простоты методе дельта хеджирования [10, 13]. Его суть состоит в том, что платежная функция срочного контракта воспроизводится динамически при помощи портфеля из базового актива и банковского счета.

Прежде, чем перейти к описанию динамического хеджирования по методам квантильного хеджирования и хеджирования ожидаемых потерь, рассмотрим механизм дельта хеджирования более подробно на примере опциона колл на акцию, не выплачивающую дивидендов. В рамках модели Блэка-Шоулса коэффициент дельта опциона колл равен:

Пошагово операцию дельта хеджирования можно представить следующим образом. В момент выпуска опцион колл предлагается по цене, рассчитанной по формуле Блэка-Шоулса (59). Сразу после заключения сделки продавец опциона получает теоретическую премию в свое распоряжение.

В целях хеджирования он покупает акции в количестве, соответствующем коэффициенту дельта опциона колл (151). Покупка акций частично финансируется из полученной за опцион премии, а частично за счет кредита под фиксированную процентную ставку г. На конец первого дня хеджирования его портфель состоит из Δштук акций и кредита В в размере стоимости акций за вычетом полученной от покупателя премии опциона C^bs∖

Стоимость хеджирующего портфеля πсоставляет:

Отметим, что в первый день стоимости опциона и хеджирующего портфеля совпадают.

Пусть на следующий торговый день курс акции изменился. Также сократился на один день срок действия контракта. Это приводит к изменению коэффициента дельта и делает необходимым коррекцию хеджирующего портфеля. Предположим, что курс акции поднялся. В этом случае дельта опциона колл увеличивается, и хеджер должен докупить акций в хеджирующий портфель в количестве, равном приращению коэффициента дельта:Стоимость покупки составляетОна

финансируется за счет дополнительного кредита. Теперь стоимость акций в хеджирующем портфеле равнаХеджер также должен выплатить

проценты по кредиту, взятому в предыдущий день под постоянную процентную ставку г. Они составляют. Таким образом, долг хеджера

в первый день хеджирования возрастает до:

После проведения коррекции хеджирующий портфель стоит:

Его стоимость может не совпадать с теоретической стоимостью опциона по формуле Блэка-Шоулса в результате так называемой ошибки хеджирования. Она возникает вследствие того, что дельта хеджирование страхует только линейную компоненту изменения цены опциона в зависимости от изменения цены базового актива, в то время как эта зависимость вогнута. Расхождение теории и практики является также следствием того, что параметры хеджирующего портфеля вычисляются не в непрерывной модели, а само хеджирование "на практике" осуществляется в дискретные моменты времени [13].

При движении курса акции вниз коррекция портфеля проводится аналогично, только в этом случае дельта опциона колл уменьшается, и часть акций' продается, что приводит к сокращению размера кредита. В каждый торговый день вес составляющих хеджирующего портфеля пересматривается. В общем случае, размер кредита и совокупная стоимость хеджирующего портфеля выражаются согласно формулам (15 6) и (157):

На момент исполнения опциона позиция по акциям ликвидируется, а вырученные средства идут на погашение задолженности по кредиту и, если опцион находится в деньгах, на выплаты по опциону.

Следует отметить, что существуют более совершенные методы динамического хеджирования [70, 89] в дискретном времени, однако для

иллюстрации представленных концепции дельта хеджирование представляет собой достаточно точную аппроксимацию.

В целях эмпирической проверки концепций квантильного хеджирования и хеджирования ожидаемых потерь, представленный' выше метод совершенного дельта хеджирования подвергается лишь незначительной коррекции. Единственное отличие заключается в способе расчета дельта коэффициента хеджирующего портфеля, который равен сумме дельта коэффициентов реплицирующих инструментов, взвешенных согласно соответствующим формулам.

Эмпирическое исследование основывается на котировках акции РАО "ЕЭС" на Московской межбанковской валютной бирже (ММВБ) за период с 29.08.2003 по 30.09.2003. Для повышения наглядности практической иллюстрации и устранения искажений' вызванных оценкой" параметров, предполагается, что показатели среднего темпа роста и волатильности известны заранее. За указанный период они составляют в годовом исчислении 4,49% и 32,44% соответственно. Процентная ставка принята постоянной и равной 9% годовых.

В таблице 4 представлен процесс хеджирования опциона колл в классической модели Блэка-Шоулса по торговым дням. В ней для каждой даты изображены порядок сделки и структура хеджирующего портфеля:

• курс акции - курс акции на ММВБ на момент закрытия торгов;

• № - номер коррекции портфеля;

• T-срок к исполнению в годах;

• Δ C(K) - дельта опциона колл с ценой исполнения К, равной курсу акции РАО "ЕЭС" на начало периода 9,536;

• Покупка акций - количество акций, покупаемых или продаваемых в момент коррекции;

• Стоимость покупки - стоимость покупки или продажи акций в рублях;

• Сумма кредита - сумма кредита, взятого на покупку акций для хеджирования опциона;

• Цена акций в портфеле - стоимость акций в хеджирующем портфеле;

• Цена портфеля - стоимость хеджирующего портфеля, равная стоимости акций за вычетом суммы кредита.

В таблице отчетливо видно, что из-за ошибки хеджирования стоимость хеджирующего портфеля на момент исполнения опциона превысила размер выплат по опциону на 6%, что, впрочем, не представляет проблему с практической точки зрения.

Процедура квантильного хеджирования представлена в таблице 5. Техническое отличие от процедуры совершенного дельта хеджирования заключается в том, что коэффициент дельта рассчитывается несколько иным способом. Поскольку отношениеменьше единицы, то структура

выплат хеджирующего портфеля воспроизводится комбинацией из двух стандартных опционов колл Ct(K)и Cτ(h) с ценами исполнения К и hи бинарного опционас ценой исполнения hсогласно формуле (58):

В этом случае граница hможет быть определена как аналитически по формуле (57), так и численно. Для вероятности успеха в 95% она составляет 11,16. Тогда коэффициент дельта хеджирующего портфеля рассчитывается следующим образом:

Таблица 5 отличается от таблицы 4 тем, что в нее добавлены столбцы дельта коэффициентов отдельных компонентов хеджирующего портфеля.

139

Таблица 4: Моделирование процедуры совершенного хеджирования купленного опциона колл в классической модели Блэка-Шоулса

140

Таблица 5: Моделирование процедуры квантильного хеджирования купленного опциона колл в классической модели Блэка-Шоулса

Динамика теоретической стоимости опциона колл и хеджирующего портфеля, рассчитанная по формуле Блэка-Шоулса, представлена на рисунке 45. На нем отчетливо видно, что квантильное хеджирование в данном случае успешно и позволят снизить стоимость хеджирования на 28,1%.

Рис. 45: Теоретическая стоимость опциона колл и квантильного хеджирующего портфеля

Стоимость совершенного и квантильного дельта хеджирования представлена на рисунке 46. На рисунке видно, что динамика стоимости хеджирующих портфелей отличается от теоретической стоимости на величину ошибки хеджирования, которая, впрочем, приводит к вполне приемлемым результатам.

Рис. 46: Стоимость совершенного и квантильного дельта хеджирования.

Процедура хеджирования производных инструментов методом хеджирования ожидаемых потерь приводится в таблице 6. Поскольку в рассматриваемый период времени показатель среднего темпа роста ниже уровня процентной ставки, то выплаты хеджирующего портфеля могут быть воспроизведены при помощи комбинации из двух стандартных опционов колл Ст с ценами исполнения hи К и бинарного опциона колл CoN_tс ценой исполнения h(см. формулу (144)):

Для уровня ожидаемых потерь в 5% граница области хеджирования hравна 11,93.

143

Таблица 6: Моделирование процедуры хеджирования ожидаемых потерь в классической модели Блэка-Шоулса

(на примере продажи опциона колл)

На рисунке 47 представлена динамика теоретической стоимости опциона колл и хеджирующего портфеля, рассчитанная по формуле Блэка-Шоулса.

Рис. 47: Теоретическая стоимость опциона колл и хеджирующего портфеля по методу хеджирования ожидаемых потерь

Стоимость дельта хеджирующих портфелей приведена на рисунке 48. На нем видно, что осуществление хеджирования на практике в дискретные моменты времени приводит к некоторому расхождению стоимостей''хеджирующих стратегий.

Рис. 48: Стоимость совершенного дельта хеджа и дельта хеджа по методу хеджирования

ожидаемых потерь

Представленное эмпирическое исследование показало, что концепции квантильного хеджирования и хеджирования ожидаемых потерь могут быть достаточно просто интегрированы в концепции динамического хеджирования в дискретном времени. Даже применение наиболее простого варианта динамического хеджирования наглядно демонстрирует возможности представленных концепции' несовершенного хеджирования, позволяющих понизить стоимость репликации на контролируемом уровне риска. Можно с достаточной достоверностью предположить, что применение усовершенствованных методов динамического хеджирования должно привести к повышению точности результатов.

4.3.