<<
>>

Нахождение оптимальной структуры выплат хеджирующей стратегии

Рассмотрим финансовый рынок, состоящий из рискового актива S и безрискового банковского счета В, представляющего собой возможность кредитования и вложения под фиксированную процентную ставку г.

Платежным обязательством с датой погашения Tназовем пару (A, Т), где h есть неотрицательная случайная величина, имеющая размерность фильтрации Fτ.Экономический агент, отвечающий по этому обязательству, стремится так организовать свою инвестиционную деятельность, чтобы соответствующая инвестиционная стратегия vк дате погашения обязательства принесла капитал Vτ ≥ h.Процедура построения такой стратегии называется хеджированием, а сама стратегия - хеджирующей стратегией (портфелем). Хеджирующая стратегия называется самофинансируемой, если за весь срок ее действия не происходит ни вложения извне, ни извлечения капитала из нее. Если в некотором классе хеджирующих стратегий у существует стратегия у* такая, что Vtv< Vtvдля всех t∈[О, Т\, тогда у* называется минимальным (в этом классе) хеджем[29, 53, 84].

Рынок является полным, если для любого платежного обязательства найдется самофинансируемая хеджирующая стратегия, которая в каждый момент времени и в каждом состоянии воспроизводит его выплаты. В этом случае также говорят, что хеджирующая стратегия реплицирует обязательство, и оно называется достижимым(attainable) [34].

На полном рынке стоимость платежного обязательства равна капиталу совершенного хеджа. Он соответствует математическому ожиданию

дисконтированных выплат обязательства, рассчитываемому при нейтральной к риску мере вероятности Q [99]. Соответственно, капитал хеджирующей стратегии Vна начальный момент времени равен:

где Btобозначает стоимость единицы банковского счета, a Vt- капитал хеджирующей стратегии на момент погашения обязательства Т.

Предположим, что держатель платежного обязательства hрасполагает капиталом V0, меньшим, чем стоимость его совершенного хеджирования V0. Он сокращает стоимость защиты от риска, сознательно отказываясь от воспроизведения выплат платежного обязательства в некоторых состояниях. При принятии решения о выборе хеджируемых состояний величина возможных потерь не играет роли. Только вероятность возникновения потерь влияет на решение о воспроизведении выплат в некотором состоянии.

Держатель срочной позиции определяет хеджирующую стратегию vтаким образом, что она воспроизводит выплаты платежного обязательства Htна момент погашения с максимальной физической вероятностью, но стоимость реализации такой стратегии не превышает начальный капитал V0. В общем виде проблема может быть представлена следующим образом:

Решением этой проблемы является хеджирующая стратегия, которая воспроизводит выплаты срочного контракта в некоторых из возможных состояний и оставляет срочный контракт незастрахованным в оставшихся состояниях. Зная хеджируемые состояния, можно определить структуру выплат хеджирующего портфеля. Участник рынка достигает максимальной

вероятности успеха при заданном капитале, воспроизводя эту структуру.

Для простоты изложения метод квантильного хеджирования рассматривается на примере финансовых опционов Европейского типа. Обозначим совокупность состояний ω,в которых капитал хеджирующего портфеля Vt на момент исполнения Tбольше или равен стоимости платежного обязательства Htкак множество успешного хеджирования А:

где Tобозначает срок исполнения срочного контракта.

Нагляднее это множество можно представить графически. На рисунке 11 изображены выплаты производного инструмента и хеджирующего портфеля на примере биномиального дерева.

Рис. 11: Множество успешного хеджирования на примере биномиального дерева

В узлах ωo, со ∣и ао хеджирование успешно, и выплаты хеджирующего портфеля Vtпокрывают выплаты производного инструмента Hτ.Напротив, в узле Шз стоимость производного инструмента превышает стоимость хеджирующего портфеля, и держатель срочной позиции терпит убыток. В приведенном примере множество успешного хеджирования состоит из трех элементов:

Зная элементы множества успешного хеджирования, можно рассчитать выплаты производного инструмента в хеджируемых состояниях, а затем воспроизвести их структуру с помощью других активов рынка. Вопрос заключается в том, как определить состояния, которые следует хеджировать. Иными словами, необходимо разработать алгоритм, позволяющий рассчитать оптимальную структуру этого множества.

Математически задача состоит в максимизации физической вероятности множества успешного хеджирования А при ограничении, что стоимость хеджирующего портфеля V0не превышает начальный капитал V0:

Ее решение можно условно разделить на несколько этапов. Вначале предположим, что решением проблемы максимизации является некоторое известное оптимальное множество. Мы определим хеджирующий портфель, выплаты которого покрывают выплаты производного инструмента в каждом состоянии этого множества, а его стоимость не превышает начальный капитал. Затем покажем, что хеджирующий портфель оптимален только в том случае, если его выплаты совпадают с выплатами срочного контракта на множестве успешного хеджирования. Оптимальный хеджирующий портфель имеет наивысшую вероятность успеха, которая может быть достигнута с ограниченным начальным капиталом.

Далее обратимся к вопросу, как определить множество успешного хеджирования. Для этой цели сравним приращение вероятности успеха, которое достигается посредством воспроизведения выплаты платежного

обязательства в некотором состоянии, со стоимостью репликации в этом состоянии. Чтобы сделать сопоставление возможным, представим ограничение на стоимость хеджирующего портфеля в вероятностном виде. Затем в каждом состоянии рассмотрим отношение приращения совокупной вероятности успеха к приращению в стоимости хеджирования. Состояния с наивысшими значениями этого показателя образуют множество успешного хеджирования. Размер этого множества зависит от величины начального капитала или, альтернативно, от заданнойвероятности успеха.

Предположим, что множество хеджируемых состояний А известно. Хеджирующий портфель Vможет быть решением проблемы оптимизации (16) в том случае, если на этом множестве его выплаты покрывают выплаты производного инструмента, а расходы на его создание не превышают начальный капитал

Хеджирующий портфель, удовлетворяющий этим двум свойствам, будем называть допустимым. Эти характеристики допустимого портфеля не противоречат друг другу. Для любого неотрицательного уровня начального капитала мы всегда можем задать множество успешного хеджирования, расходы на страхование которого не превышают этот уровень. Множество успешного хеджирования будем называть допустимым, если на нем существует допустимый хеджирующий портфель. Такое множество может быть пустым, если начальный капитал недостаточен для страхования выплат срочного контракта хотя бы в одном из возможных состояний.

Хеджирующий портфель оптимален, если вероятность успешного хеджирования максимальна среди всех допустимых портфелей. Его выплаты

достаточно высоки, чтобы возместить выплаты платежного обязательства на множестве успешного хеджирования, и в тоже время его стоимость минимальна среди всех хеджирующих портфелей, допустимых на этом множестве.

Интересным кандидатом на роль возможного решения проблемы оптимизации служит хеджирующий портфель, выплаты которого в состояниях из множества успешного хеджирования совпадают с выплатами обязательства. Стоимость такого портфеля ниже, чем любого иного портфеля с выплатами в застрахованных состояниях, превосходящими выплаты производного инструмента. Значит, некоторые состояния страхуются дешевле, за счет чего высвобождаются средства для хеджирования дополнительных состояний. Это позволяет расширить множество успешного хеджирования, и, соответственно, повысить вероятность успеха.

Проверим, насколько правильно наше предположение. Обозначим решение проблемы оптимизации (16) через А\ В этом случае вероятность успеха максимальна, и для любого другого допустимого множества А выполняется неравенство:

Разделим оптимальное множество успешного хеджирования А * на два непересекающихся подмножества Си/). Подмножество C состоит из состояний, в которых капитал хеджирующего портфеля равен выплатам платежного обязательства, а подмножество Dвключает те состояния, в которых капитал хеджирующего портфеля строго превышает выплаты обязательства:

Теперь рассмотрим хеджирующий портфель Vt, капитал которого в каждом состоянии из оптимального множества успешного хеджирования А* равен выплатам платежного обязательства, вне зависимости от того, принадлежит ли оно подмножеству C или D:

Заметим, что хеджирующий портфельреплицирует платежное

обязательство на множестве успешного хеджирования, но его стоимость ниже, чем портфеля Vτ,капитал которого превышает выплаты обязательства хотя бы в одном состоянии, то есть, множество Dне пусто. То есть, выполняется следующее условие:

Оба портфеляохватывают одно и тоже оптимальное множество А \

но первый из них стоит дешевле. Это означает, что высвобождаются средства на страхование дополнительных состоянии, что позволяет расширить множествои, соответственно, повысить вероятность успеха

хеджирующей стратегии. Однако мы приходим к противоречию, так как вероятность успеха на оптимальном множестве максимальна и не может быть увеличена. Следовательно, множество.не может быть оптимальным.

Этого противоречия можно избежать только тогда, когда выплаты оптимального хеджирующего портфеляво всех состояниях множества А * равняются выплатам платежного обязательства, то есть, когда подмножество Dне содержит элементов. В этом случае отсутствует возможность высвобождения капитала. Таким образом, решением проблемы оптимизации является хеджирующий портфельвыплаты которого совпадают с

выплатами платежного обязательства в каждом состоянии множества успешного хеджирования.

Отметим, что если начальный капитал ниже стоимости совершенного хеджа, то в непрерывном времени он полностью инвестируется в хеджирующий' портфель. В дискретном времени стоимость хеджирующего портфеля может быть меньше, чем начальный капитал. Это возможно в том случае, если после страхования всех состояний из множества успешного хеджирования остаются средства недостаточные для хеджирования дополнительного состояния полностью. Тогда остаток используется для страхования некоторой части выплаты в состоянии с наибольшим вкладом в совокупную вероятность хеджирования.

Для расчета составляющих хеджирующего портфеля и анализа его рисковых характеристик необходимо определить структуру множества успешного хеджирования, то есть обозначить те состояния, в которых воспроизводятся выплаты платежного обязательства. Эти состояния характеризуются высоким вкладом в совокупную вероятность успеха и низкой"стоимостью репликации. Добавляя новое состояние во множество успешного хеджирования, держатель платежного обязательства сравнивает увеличение в вероятности успеха с приращением в расходах на защиту от риска. Состояния с наивысшим вкладом в вероятность успеха по отношению к приращению стоимости хеджирования добавляются во множество успешного хеджирования в первую очередь.

Вклад в совокупную вероятность успеха хеджирования соответствует физической вероятности возникновения состояния. Для сопоставления стоимости хеджирования с вероятностью успеха, следует преобразовать ограничение на начальный капитал в проблеме оптимизации (16) в вероятностный вид.

Для перехода от одной вероятностной меры к другой используются производные Радона-Никодима [61]. Идею этого механизма можно представить с помощью следующего примера на основе биномиальной модели. Предположим, имеются две меры вероятности - Qи Р. В представленном двухпериодичном фрагменте биномиального дерева они заданы наборами вероятностей скачка {p1,p2,p3}и {q1, q2, q3}.

Рис. 12: Смена меры вероятности

Используя эти вероятности, можно рассчитать вероятность наступления состояния іпри вероятностной мере Pи Qсоответственно. C другой стороны, зная вероятностиможно рассчитать вероятность

каждого скачка при каждой из мер. Иными словами, как наборы вероятностей скачка, так и наборы вероятностей состояний определяют вероятностную меру.

Зная один из наборов вероятностей скачков и соотношения между вероятностями состоянийможно определить вероятности другой'

меры. Правда, для этого необходимо, чтобы количество состояний с положительной вероятностью возникновения при каждой из мер было не меньше количества возможных скачков. Соотношения между вероятностями состояний πiи πl* называются производными Радона-Никодима:

70

Они позволяют перейти от одной вероятностной меры к другой. Если вероятностная мера Pизвестна, то зная производные Радона-Никодима, можно определить вероятностную меру Q.

Рассчитав вероятности состоянийможно найти вероятности скачков {ql, q2, q3},то есть определить вероятностную меру Q.

Согласно уравнению (12), стоимость совершенного хеджа на полном рынке задается, как математическое ожидание дисконтированных выплат платежного обязательства при нейтральной к риску мере вероятности Q. Разделим на нее обе части ограничения на начальный капитал в проблеме оптимизации (16):

где Iа является индикатором множестваесли событие ω

принадлежит множествув противном случае [24]. Неравенство

(24) эквивалентно:

где коэффициент а представляет собой отношение начального капитала к стоимости совершенного хеджа:

71

Для перехода к новой вероятностной мереопределим производные Радона-Никодима как дробь перед функцией индикатора:

Отметим, что, если производная принимает нулевое значение в некоторых состояниях, то мерыне эквивалентны. Это осложняет нахождение

аналитической зависимости между вероятностью успеха хеджирования и его стоимостью. Мы не можем перейти от мерыобратно к мере Qдля некоторых типов производных инструментов, у которых могут быть нулевые выплаты (например, стандартный опцион колл). Тем не менее, мера вероятностипозволят устранить случайную дробь из под знака математического ожидания в ограничении на начальный капитал в проблеме оптимизации (16). При новой мере вероятностииы имеем:

Поскольку математическое ожидание от индикатора множества является вероятностью этого множества, проблема максимизации вероятности успешного хеджирования сводится к следующей"задаче:

В общем случае она решается с помощью численного метода. В каждом состоянии со рассматривается отношение вклада страхования выплат в естественную вероятность успеха хеджирования к приращению в левои"части

ограничения в проблеме (29). Обозначим это отношение через λ∖

C экономической точки зрения, коэффициент λпредставляет собой относительный вклад в успех хеджирующей стратегии, который дает воспроизведение выплат платежного обязательства в отдельном состоянии ω. Числитель дробисоответствует приращению вероятности успеха

хеджирования. Знаменатель дробипредставляет собой условные

затраты на страхование состояниянеобходимые для увеличения

совокупной вероятности успешного хеджирования на P(ω).

Если выплаты платежного обязательства в некоторых состояниях равны нулю, то стоимость их репликации также равна нулю. Эту особенность мы можем проследить на примере коэффициента λ.Если выплаты платежного обязательства в состоянии со равны нулю, то производные Радона-Никодима для мер(см. формулу (27)) принимают нулевое значение.

Соответственно, вероятность возникновения этого состояниятакже

равна нулю. Тогда коэффициент λстремится к бесконечности, и состояние автоматически добавляется во множество успешного хеджирования.

Подставив производные Радона-Никодима (27) в определение коэффициента λ (30), мы можем представить его в развернутой форме, как отношение физической и риск-нейтральной вероятности, умноженное на константу:

Коэффициент λпрямо пропорционален физической вероятности возникновения состояния и обратно пропорционален стоимости репликации выплат срочного контракта в этом состоянии. Если коэффициент λ(ω)

73 достаточно велик, то состояние ωможет быть застраховано с высоким вкладом в совокупную вероятность успеха хеджирования при незначительных издержках. И наоборот, низкое значение коэффициента свидетельствует о незначительном приросте вероятности успеха при достаточно высоких затратах. Соответственно, в первую очередь следует хеджировать состояния с наибольшими значениями коэффициента λ(ω), постепенно переходя к более низким показателям. В практическом применении, состояния упорядочиваются по убыванию коэффициента λ(ω)и, начиная с его максимального значения, выплаты производного инструмента в них страхуются до тех пор, пока начальный капитал не будет полностью исчерпан.

Когда множество хеджируемых состояний определено, мы можем рассчитать структуру выплат хеджирующего портфеля. Затем эта структура воспроизводится посредством стратегии динамического хеджирования или при помощи других инструментов рынка. Для заданного уровня начального капитала вероятность успеха хеджирования зависит от характеристики платежного обязательства, свойств базового процесса и величины процентной ставки. В следующей части мы рассмотрим метод квантильного хеджирования в рамках модели Блэка-Шоулса.

<< | >>
Источник: Антонов Павел Юрьевич. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ МЕТОДОВ НЕСОВЕРШЕННОГО ХЕДЖИРОВАНИЯ ФИНАНСОВЫХ ОПЦИОНОВ. Диссертация на соискание ученой степени кандидата экономических наук. Москва - 2004. 2004

Еще по теме Нахождение оптимальной структуры выплат хеджирующей стратегии:

  1. Нахождение оптимального хеджирующего портфеля
  2. БОДРИКОВ Алексей Борисович. ЛИНГВОКУЛЬТУРОЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ СТРУКТУРЫ МЕНТАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОИН (НА МАТЕРИАЛЕ АНКЕТИРОВАНИЯ КУРСАНТОВ ВОЕННО-ТЕХНИЧЕСКОГО ВУЗА). АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата филологических наук. Тверь 2019, 2019
  3. Оглавление
  4. Выводы по результатам исследования
  5. Методы несовершенного хеджирования
  6. 2.2. Анализ метода квантильного хеджирования в рамках модели Блэка-Шоулса
  7. 4.1. Сравнительный анализ метода квантильного хеджирования и метода хеджирования ожидаемых потерь
  8. Хеджирование стрэддла
  9. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
  10. ВВЕДЕНИЕ
  11. Хеджирование спрэда быка
  12. 2.3. Численный анализ чувствительности метода квантильногс хеджирования