Нахождение оптимального хеджирующего портфеля

Метод хеджирования ожидаемых потерь представляет собой еще один метод несовершенного хеджирования [87]. Он позволяет сократить расходы на защиту срочной позиции от риска, не воспроизводя ее выплаты в некоторых состояниях и допуская риск возникновения потерь.

гдеобозначает индикатор множества незащищенных состоянийЭто множество содержит состояния, в которых выплаты платежного обязательстваI превышают выплаты хеджирующего портфеля

)

Использование критерия ожидаемого убытка в качестве меры риска позволяет контролировать не только вероятность возникновения потерь, но и их величину. Экономический агент может сократить расходы на хеджирование, если он готов систематически принимать определенный' уровень потерь.

Предположим, что держатель платежного обязательства располагает ограниченным капиталом, меньшим, чем стоимость совершенного хеджа Vo-Перед экономическим агентом возникает задача минимизации ожидаемых потерь при ограничении на стоимость хеджирования. Иными словами,

IOO

необходимо найти хеджирующую стратегию v,обладающую минимальным ожидаемым убытком, и стоимость которой не превышает начальный капитал. Для решения этой проблемы необходим критерий, позволяющий определить состояния и размер выплат платежного обязательства, который воспроизводится в этих состояниях. Предположим, что такой критерий существует, и возможно сравнение расходов на хеджирование состояния с убыванием ожидаемого убытка. Выплаты в состояниях с наивысшим вкладом по отношению к единице стоимости хеджирования воспроизводятся в первую очередь. Относительный вклад в успех хеджирования единицы выплаты срочного контракта в таких состояниях выше, и соответственно, выплаты должны воспроизводиться в полном размере.

В непрерывном времени все состояния делятся на два подмножества. Первое подмножество А состоит из состояний, в которых выплаты производного инструмента полностью воспроизводятся. Второе подмножествоявляется его дополнением и содержит состояния, в которых репликация не проводится. Отметим, что множествообразуют состояния, в которых выплаты срочного контракта положительны и не застрахованы полностью. Состояния с нулевыми выплатами могут быть застрахованы без дополнительных издержек, и поэтому автоматически включаются во множество успешного хеджирования Л.

Проблема оптимизации (86) может быть преобразована в задачу минимизации ожидаемого убытка при ограничении на начальный капитал.

множестве

Решение этой проблемы делится на два этапа. Вначале определяется состояния, в которых следует воспроизводить выплаты контракта. Они образуют множество успешного хеджирования А, которое является дополнением множестваВыплаты производного инструмента

воспроизводятся в полном объеме на этом множестве, и держатель срочной позиции не несет убытка, если наступает одно из этих состояний.

На втором этапе структура выплат производного инструмента на множестве успешного хеджирования воспроизводится с помощью других активов рынка или посредством реализации динамической хеджирующей стратегии. В действительности, мы как бы заменяем данное изначально платежное обязательство новым обязательством, выплаты которого соответствуют выплатам изначального платежного обязательства на множестве успешного хеджирования. Совершенное хеджирование модифицированного контракта соответствует хеджированию оригинального контракта методом хеджирования ожидаемых потерь при заданном ограничении на начальный капитал или на допустимый уровень ожидаемых потерь.

Предположим, что множество решений.проблемы (87) известно. Выше на примере метода квантильного хеджирования было показано, что хеджирующий портфель Vможет быть решением проблемы оптимизации (87) в том случае, если на множествеего выплаты возмещают выплаты производного инструмента, а расходы на его создание не превышают начальный капитал.

заданном множестве. Допустимый хеджирующий портфель является оптимальным на некотором множестве, если его капитал на начальный момент времени наименьший среди всех допустимых портфелей этого множества. На примере метода квантильного хеджирования было показано, что допустимый хеджирующий портфель с выплатами, равными выплатам платежного обязательства на множестве успешного хеджирования, имеет наименьшую стоимость среди всех допустимых портфелей этого множества. Значит, он является оптимальным.

Чтобы определить множество успешного хеджирования, противопоставим снижение ожидаемого убытка, которое может быть достигнуто посредством воспроизведением выплат платежного обязательства в некотором состоянии, и стоимость репликации. Состояния с наивысшим относительным вкладом в успех хеджирования образуют множество успешного хеджирования. Его размер зависит от величины начального капитала или, альтернативно, от допустимого уровня ожидаемых потерь.

Выплаты оптимального хеджирующего портфеля Vtсоответствуют выплатам платежного обязательства H_tна множестве успеха. На полном рынке стоимость хеджирующего портфеля задается, как математическое ожидание его выплат при нейтральной к риску мере вероятности Q.Подставим ее в ограничение проблемы оптимизации (87):

Преобразуем эту задачу, чтобы сделать возможным сравнение между успехом и стоимостью хеджирования. Вначале перейдем от минимизации ожидаемых потерь к максимизации ожидаемого успеха, что позволит определить целевую функцию и функцию ограничения на одном и том же

множестве. Затем преобразуем проблему оптимизации в вероятностный вид при помощи производных Радона-Никодима.

Численные методы позволяют найти множество успешного хеджирования. Состояния с нулевыми выплатами автоматически добавляются во множество успеха. В каждом состоянии с положительными выплатами рассматривается отношение целевой функции к приращению в ограничении.

Ожидаемый убыток, как функция от индикатора множества успешного хеджированиявыражается согласно уравнению (89):

что эквивалентно:

Формула (90) показывает, что минимизация ожидаемого убытка эквивалентна максимизации ожидаемого успеха. Математическое ожидание выплат платежного обязательства не зависит от множества успешного хеджирования. Поэтому целевую функцию можно записать как максимизацию вычитаемого в уравнении (90):

Соответственно, проблема оптимизации (88) преобразуется в максимизацию ожидаемого успеха при ограничении на начальныйкапитал:

104

Для ее решения воспользуемся подходом, который уже применялся в случае квантильного хеджирования. Прежде всего, изменим меру вероятности таким образом, чтобы под знаком математического ожидания оставалась только функция индикатора. Затем перейдем к вероятностям и построим отношение целевой функции к ограничению. Высокое значение этого коэффициента свидетельствует о том, что состояние должно быть включено во множество успешного хеджирования.

Разделим целевую функцию на физическое математическое ожидание выплат платежного обязательства, чтобы преобразовать ее в вероятностный вид:

Определим производные Радона-Никодима, как дробь при функции индикатора под знаком математического ожидания в выражении (93):

При новой мере вероятности целевая функция проблемы оптимизации имеет вид:

Чтобы преобразовать ограничение в вероятностный вид, разделим обе его части на стоимость платежного обязательства.

105

Определим производные Радона-Никодима, как отношение дисконтированной выплаты платежного обязательства к его стоимости:

Подстановка формулы (97) в ограничение (96) позволяет представить его следующим образом:

где коэффициент а равен отношению начального капитала к стоимости платежного обязательства :

Подставим формулы (98) и (95) в систему уравнений (92):

Поскольку математическое ожидание от индикатора множества является вероятностью этого множества, проблему оптимизации можно записать в вероятностном виде следующим образом:

В общем случае, для ее решения применяется численный метод. В каждом состоянии со определяется коэффициент λ(ω),равный отношению целевой функциик ограничению ∣

Эту дробь можно упростить, подставив в нее определения производных Радона-Никодима (94) и (97):

Коэффициент λ(oo)представляет собой относительный вклад в снижение ожидаемого убытка. Он соответствует произведению константы на отношение физической к риск-нейтральной вероятности возникновения состояния со. Все состояния могут быть приведены в последовательность в убывающем порядке этого коэффициента. Множество успешного хеджирования включает состояния с высокими значениями показателя, а его размер зависит от величины начального капитала.

Как только множество успешного хеджирования определено, можно перейти к нахождению структуры выплат хеджирующего портфеля. Для завершения построения хеджа методом хеджирования ожидаемых потерь она воспроизводится с помощью других инструментов или посредством стратегии динамического совершенного хеджирования. В следующем разделе мы рассмотрим зависимость между успехом и затратами на хеджирование в рамках модели Блэка-Шоулса.

3.2.