Методы несовершенного хеджирования

Методы несовершенного хеджирования позволяют понизить стоимость хеджирования за счет принятия риска возникновения потерь. Классическая теория принятия решений' предполагает, что, при прочих равных, рациональный участник рынка всегда предпочитает большую прибыль меньшей.

Источником риска служит структура открытой позиции. Видоизменяя ее, хеджер может воздействовать на уровень неопределенности. Если допустить,

что в некоторых случаях выплаты срочного контракта не будут воспроизведены или будут воспроизведены не в полном объеме, то возможно снижение расходов на реализацию стратегии репликации за счет риска возникновения потерь в этих случаях. Задача заключается в том, чтобы определить такие состояния, в которых отказ от репликации приводит с наименьшим увеличением риска к наибольшему приращению ожидаемой доходности.

Нахождение оптимальной структуры открытой позиции требует более формального определения понятия риска. До сих пор оно употреблялось в абстрактной форме, как уровень неопределенности относительно возможных потерь от выпуска срочного контракта. Для более точного представления риска необходимо определить источники неопределенности и оценить величину их возможного негативного влияния на прибыльность операции.

Аналитический аппарат теории вероятности наиболее полным образом позволяет количественно описать риск посредством функции распределения целевой величины. Набор параметров распределения дает возможность представить риск в простой и наглядной форме.

Подходы несовершенного хеджирования можно разделить на три группы в соответствии со способом измерения риска - хеджирование в среднеквадратическом, квантильное хеджирование и хеджирование ожидаемых потерь. Хеджирование в среднеквадратическом представляет собой один из наиболее досконально изученных методов несовершенного хеджирования. Он характеризуется тем, что "измерение качества" хеджирующей стратегии осуществляется посредством квадрата разности между терминальным капиталом и платежным обязательством [34]. Основы

этого метода разрабатываются в работе Даффи и Ричардсона (1991) [83], свое дальнейшее развитие он получил в статьях Мельникова и Нечаева (1998) [31] и университетской публикации Швейцера (1999) [119]. Более детальный список работ, посвященных теме хеджирования в среднеквадратичном, приведен в книге Мельникова, Волкова, Нечаева (1998) [34].

Несмотря на то, что метод хеджирования в среднеквадратичном позволяет контролируемо снижать расходы на хеджирование производного инструмента, он обладает присущим всем квадратичным мерам риска недостатком, а именно тем, что как положительные, так и отрицательные отклонения выплат увеличивают риск стратегии. Поскольку этот метод нашел широкое отражение в профессиональной литературе, в настоящей работе его рассмотрение не проводится.

Вторую группу подходов несовершенного хеджирования представляет собой метод квантильного хеджирования(quantile hedging). Стоимость производного инструмента определяется в результате взаимодействия ряда факторов, непредвиденное изменение которых обуславливает риск держателя срочной позиции. Риск держателя финансового опциона заключается в непредсказуемых рыночных движениях или внезапных изменениях экономической среды и относится к разряду рыночных рисков [62].

Часто используемой мерой рыночного риска является концепция Value-at- Risk [96].

измеряет ее экономическую стоимость и допускает сопоставление C родственными мерами риска [103].

C использованием концепции VaR в качестве меры риска, задача нахождения оптимального распределения доходность-риск сводится в область общей теории доверительного статистического оценивания [34]. Одним из основных ее понятий является понятие квантиля, то есть границы области оценки с заданным интервалом. Вследствие этого метод хеджирования опционного контракта, в котором в качестве критерия успеха стратегии используется квантиль распределения прибыли или убытка хеджирующей стратегии, носит название квантильного.

В настоящей работе рассматривается стратегия квантильного хеджирования, которая максимизирует естественную вероятность успеха хеджирования при ограничении на стоимость ее реализации. Идея квантильного хеджирования достаточно нова и еще не нашла всестороннего систематического описания в литературе. Она была впервые предложена Г. Феллмером в марте 1995 в контексте стандартной модели Блэка-Шоулса, а ее основные особенности опубликованы в статье Феллмера, Лейкерта (1999) [86]. В этой статье проблема квантильного хеджирования рассматривается с технической точки зрения. Задача решается посредством обобщения метода Куллдорфа (1993) [107] для максимизации вероятности достижения определенного уровня броуновского движения к заданному моменту времени. Применяя формализованный абстрактный подход, авторам удалось сжато представить решение. Впрочем, экономическое содержание метода осталось за рамками доказательства.

Несколько подробнее экономические особенности метода квантильного хеджирования рассматриваются в книге Мельникова А.В.

алгоритма для определения хеджируемых состояний авторы уделяют больше внимания анализу их структуры. На примере стандартного европейского опциона колл описываются главные характеристики множеств хеджируемых состояний.

В первой части настоящей работы предлагается экономическое обоснование алгоритма для нахождения хеджируемых состояний. Затем рассчитывается структура множества этих состоянии^ и проводится ее анализ в зависимости от параметров модели. Затраты на реализацию стратегии квантильного хеджирования определяются с помощью воспроизведения структуры выплат хеджируемого актива в застрахованных состояниях. В заключение исследуются характеристики финансовых опционов и особенности рынка, при которых применение метода квантильного хеджирования наиболее результативно.

Тем не менее, основанные на квантиле меры риска полезны в той степени, в которой владелец срочной позиции осознает их ограничения. Следует отметить, что концепция квантильного хеджирования рассматривает только вероятность возникновения потерь и не учитывает их размер. Состояния с крайне высокой и с очень низкой величиной" потерь предполагаются одинаково рисковыми. C практической точки зрения, такой подход вызывает критику.

Третью группу подходов несовершенного хеджирования образует концепция хеджирования ожидаемых потерь(expected shortfall hedging). Она принимает во внимание размер ожидаемого убытка, и не ограничивается контролем за вероятностью его возникновения. Этот метод определяет риск как математическое ожидание потерь при физической мере вероятности и минимизирует его при ограничении на стоимость хеджирования. Основная идея концепции хеджирования ожидаемых потерь обсуждается в статье

Фоллмера и Лейкерта (2000) [87]. Главным образом, авторы

сосредотачиваются на математической формулировке проблемы. Сначала, они описывают отношение инвестора к риску посредством некоторой'' функции от потерь.

В статье Фоллмера и Лейкерта (2000) [87], главным образом, содержится математическое содержание метода хеджирования ожидаемых потерь. Экономическое обоснование расчетов описывается частично в достаточно ограниченном виде. В настоящей работе представлено экономическое изложение концепции. Вначале мы покажем, как можно определить оптимальную хеджирующую стратегию на основании экономических аргументов. Анализ в рамках модели Блека-Шоулса выявляет основные закономерности метода. Затем мы рассмотрим воздействие характеристик срочного контракта и базового процесса, а также влияние величины

процентной ставки на успех хеджирующей стратегии в рамках биномиальной модели.

Концепции квантильного хеджирования и хеджирования ожидаемых потерь часто описываются в литературе как родственные методы несовершенного хеджирования. Их сопоставление в рамках настоящей работы показывает, что хеджирующая стратегия может быть оптимальна по обоим критериям только при определенных обстоятельствах. В общем случае, структура множества хеджируемых состояний' зависит от применяемой'’ концепции. Соответственно, хеджирующий портфель, оптимальный согласно одному критерию, зачастую не оптимален с точки зрения другого критерия.

После того, как основные характеристики обеих концепций будут представлены на примере финансового опциона колл, мы рассмотрим эти методы в применении для хеджирования более сложных портфелей производных инструментов, таких как спреды и комбинации. Для этой цели в настоящем исследовании разрабатывается оригинальная методология для практического применения методов несовершенного хеджирования. Специально разработанная компьютерная программа позволяет не только провести тесты в модельной среде, но и опробовать описанные методы на практике. Основные выводы настоящего исследования представлены в концентрированном виде в заключении.