Хеджирование стрэддла

Комбинацией называется опционная торговая стратегия, которая заключается в открытии позиций' одновременно в опционах пут и колл на

один и тот же базовый актив. Наиболее известными комбинациям являются стрэддл, стрип, стрэп и стрэнгл.

C точки зрения защиты от риска, эти комбинации очень схожи. Множества успешного хеджирования имеют похожие структуры, и методы их нахождения аналогичны. В следующем разделе мы представим их на примере стрэддла. Сначала будет рассмотрено квантильное хеджирования. Исходя из предположения о совершенном хедже, мы рассмотрим изменение множества успешного хеджирования при увеличении риска. Затем мы перейдем к хеджированию ожидаемых потерь и изучим зависимость между ожидаемым успехом и стоимостью хеджирования для различных уровней ожидаемого убытка.

Квантильное хеджирование на примере стрэддла

Множество успешного хеджирования определяется согласно формуле (47):

где константа gвыводится из уравнения (48).

параметров возможны три различных структуры множества успешного хеджирования.

Вариант 1:, степенная функциявогнута и убывает

На рисунке 62 показано, как определяется множество успешного хеджирования для различного уровня риска, если средний'темп роста не превышает процентную ставку.

Рис. 62: Квантильное хеджирование: нахождение множества успешного хеджирования, если средний темп роста меньше процентной ставки (на примере стрэддда)

Линии ограничения (1) соответствуют случаю совершенного хеджирования. По мере увеличения склонности хеджера к риску, линии ограничения поднимаются и угол между ними заостряется. До тех пор, пока прямая слева не коснется степенной функции(позиция (2)), множество успешного

хеджирования состоит из единой области, ограниченной сверху границей hj. При дальнейшем увеличении допустимого уровня риска, прямые ограничения переходят в позицию (3). На графике видны три точки пересечения, и соответственно, множество успешного хеджирования состоит из двух областей. При увеличении риска расстояние между границами h₃и h₄,а также дистанция до нуля от границы hiсокращаются. Если хеджер

полностью отказывается от страхования, линии ограничения принимают вертикальное положение, и множества хеджируемых состоянии'сокращается до пустого множества. В таблице представлены выплаты хеджирующего портфеля и структура множества успешного хеджирования для различных уровней риска.

Таблица 13: Квантильное хеджирование: множество успешного хеджирования и выплаты хеджирующего портфеля, если средний темп роста меньше процентной ставки

(на примере стрэддла)

Множество успешного хеджирования в зависимости от вероятности успеха имеет довольно экзотичный вид в этом случае. Оно представлено на рисунке 63. Средний темп роста и волатильность базового актива составляют 0.04 и 0.20. Базовый процесс начинается на уровне 100, срок исполнения равен единице, процентная ставка составляет 0.06.

Рис. 63: Квантильное хеджирование: множество успешного хеджирования, если средний темп роста меньше процентной ставки (на примере стрэддла)

Вариант 2:зыпукла и возрастает

На рисунке 64 показано, как определяется структура множества успешного хеджирования при увеличении допустимого уровня риска.

Рис. 64: Квантильное хеджирование: нахождение множества успешного хеджирования, если выполняется условие (μ-r)∕σ²r(на примере стрэддла)

Множество успешного хеджирования состоит из целостной области, ограниченной абсциссами точек пересечения hi и h2.Расстояние между ними сокращается, если хеджер повышает допустимый уровень риска. В таблице 14 представлено множество успешного хеджирования и выплаты хеджирующего портфеля в зависимости от инвестированного капитала и соответствующему ему риска.

Таблица 14: Квантильное хеджирование: множество успешного хеджирования и выплаты хеджирующего портфеля, если выполняется условие

(на примере стрэддла)

Множество успешного хеджирования в зависимости от вероятности успеха представлено на рисунке 65.

состояний состоит из целостной области, включающей состояния, близкие к цене исполнения. Оно расширяется при повышении вероятности успеха.

Рис. 65: Квантильное хеджирование: множество успешного хеджирования, если выполняется условие(на примере стрэддла)

Вариант 3:вогнута и возрастает

Нахождение множества успешного хеджирования в зависимости от уровня риска показано на рисунке 66. При совершенном хеджировании прямые ограничения находятся в положении (1). По мере увеличения допустимого уровня риска, они поднимаются. Множество успешного хеджирования представляет собой целостную область, ограниченную слева, до тех пор, пока правая прямая не коснется степенной функции (позиция (2)). При дальнейшем увеличении риска страхуются состояния, близкие к цене исполнения, и состояния, в которых курс базового актива превышает некоторую высокую границу (позиция (3)). Прямые ограничения вертикальны и множество успешного хеджирования пусто, если хеджер отказывается от защиты от риска.

Рис. 66: Квантильное хеджирование: нахождение множества успешного хеджирования, если выполняется условие(на примере стрэддла)

Выплаты хеджирующего портфеля и структура хеджируемых состояний в зависимости от уровня риска показаны в таблице 15. Вероятность успеха уменьшается при переходе от ограничения 1 к ограничению 3.

Таблица 15: Квантильное хеджирование: множество успеха и выплаты хеджирующего портфеля, если выполняется условие(на примере стрэддла)

И в этом случае множество успешного хеджирования, как функция от вероятности успеха, достаточно экзотично.

Рис. 67: Квантильное хеджирование: множество успешного хеджирования, если выполняется условие(на примере стрэддла)

Зависимость вероятности успеха от параметров модели достаточно сложна, и следует применять численные методы для ее оценки. На рисунке 68 вероятность успеха показана, как функция от среднего темпа роста базового актива и стоимости хеджирования. Отчетливо видно, что механизм воздействия параметров модели на взаимосвязь между успехом и стоимостью хеджирования далеко нетривиален.

Рис. 68: Квантильное хеджирование: вероятность успеха как функция от среднего темпа роста и стоимости хеджирования (на примере стрэддла)

На примере срэддла также отчетливо прослеживается отсутствие свойства аддитивности у метода квантильного хеджирования. На рисунке 69 видно, что стоимость хеджирования стрэддла выше, чем сумма стоимостей'' хеджирования составляющих его опционов. Это указывает на супераддитивность.

Рис. 69: Аддитивность квантильного хеджирования на примере стрэддла

В следующем разделе мы рассмотрим защиту от риска стрэддла с помощью метода хеджирования ожидаемых потерь. Структура множества успешного хеджирования проще в этом случае, и взаимосвязь между успехом и стоимостью хеджирования более прозрачна.

Хеджирование ожидаемых потерь на примере стрэддла

В случае хеджирования ожидаемых потерь множество успешного хеджирования состоит из одной целостной области. Его форма задается уравнением (109):

где константа gвыводится из ограничения (ПО).

Вариант 1:

Нахождение множества успешного хеджирования для различного уровня риска показано на рисунке 70. Прямая ограничения (1) соответствует совершенному хеджированию. Если хеджер допускает больший уровень риска, она сдвигается параллельно вверх. В положении (2) абсцисса h∣точки пересечения прямой ограничения со степенной функциейнаходится

справа от цены исполнения К. Множество успешного хеджирования охватывает состояния слева от границы hj.Дальнейшее увеличение склонности к риску смещает прямую ограничения дальше вверх, и граница множества успешного хеджирования смещается влево.

Рис. 70: Хеджирование ожидаемых потерь: нахождение множества успешного хеджирования, если средний темп роста меньше процентной ставки (на примере стрэддла)

В таблице 16 представлено множество хеджируемых состояний и выплаты

хеджирующего портфеля в зависимости от допустимого уровня риска.

Таблица 16: Хеджирование ожидаемых потерь: множество успеха и выплаты хеджирующего портфеля, если средний темп роста меньше ставки процента (на примере стрэддла)

На рисунке 71 множество успешного хеджирования представлено в зависимости от ожидаемого успеха. Базовый процесс начинается на уровне 100, его средний темп роста и волатильность составляют 0.03 и 0.05. Процентная ставка равна 0.06. Срок исполнения стрэддла равен единице. На графике видно, что необходимо застраховать большее число состояний, чтобы достичь определенного увеличения ожидаемого успеха, если курс базового актива близок к цене исполнения. Это объясняется тем, что выплаты стрэддла в этом регионе малы, и их вклад в ожидаемый убыток и стоимость воспроизведения низки.

Рис. 71: Хеджирование ожидаемых потерь: множество успешного хеджирования, если средний темп роста меньше процентной ставки (на примере стрэддла)

Вариант 2:

Если средний темп роста базового процесса превышает процентную ставку, то следует воспроизводить выплаты в состояниях с высоким курсом базового актива. На рисунке 72 показано, как определить множество успешного хеджирования в зависимости от инвестированного капитала и, соответственно, от допустимого уровня риска.

Рис. 72: Хеджирование ожидаемых потерь: нахождение множества успешного хеджирования, если средний темп роста больше процентной ставки (на примере стрэддла)

Прямая ограничения (1) соответствует случаю совершенного хеджирования. При увеличении склонности к риску, она смещается параллельно вверх (позиции (2) и (3)). Абсцисса точки пересечения степенной функции с функцией ограничения сдвигается вправо, и множество успешного хеджирования сокращается. В таблице 17 приведены его возможные виды и выплаты хеджирующего портфеля в зависимости о уровня риска.

Таблица 17: Хеджирование ожидаемых потерь: множество успешного хеджирования и выплаты хеджирующего портфеля, если средний темп роста больше процентной ставки (на примере стрэддла)

Множество успешного хеджирования, как функция от ожидаемого успеха, представлено на рисунке 73. Средний темп роста прият равным 0.12, остальным параметры модели оставлены прежние значения. На графике видно, что множество успешного хеджирования охватывает состояния с высоким курсом базового актива. По мере увеличения инвестиций в хеджирующий портфель в него добавляются состояния с более низким курсом.

Рис. 73: Хеджирование ожидаемых потерь: множество успешного хеджирования, если средний темп роста больше процентной ставки (на примере стрэддла)

Величина среднего темпа роста в сравнении с процентной ставкой в значительной степени определяет зависимость успеха от стоимости хеджирования. Если они равны, то зависимость линейна. Чем сильнее они отличаются друг от друга, тем более выпукла взаимосвязь. На рисунке 74 ожидаемый успех представлен, как функция от среднего темпа роста и стоимости хеджирования.

Рис. 74: Ожидаемый успех, как функция от среднего темпа роста и стоимости

хеджирования, на примере стрэддла

На примере стрэддла также можно проследить, что свойство аддитивности у метода хеджирования ожидаемых потерь не выполняется. Стоимость защиты от риска стрэддла ниже, чем сумма стоимостей"хеджирования составляющих его опционов колл и пут, то есть имеет месть субаддитивность.

Рис. 75: Аддитивность хеджирования ожидаемых потерь на примере стрэддла

На рисунке 75 рассматриваются срочные позиции на базовый актив со средним темпом роста 0.15, волатильностью 0.10 и стартовым значением 100. Цена исполнения опционов колл и пут равна 100, срок исполнения равен единице.

Отметим, что множества успешного хеджирования при использовании методов квантильного хеджирования и хеджирования ожидаемых потерь не совпадают ни при одной из комбинаций среднего темпа роста, процентной ставки и волатильности. Поэтому отсутствует хеджирующая стратегия, которая могла бы быть оптимальной как по критерию квантиля, так и по критерию ожидаемого убытка.

В этом разделе мы показали, что концепции квантильного хеджирования и хеджирования ожидаемых потерь могут применяться для защиты от риска различных торговых стратегий из финансовых опционов. Для управления риском таких позиций сначала определяется структура выплат исходя из начального капитала и допустимого уровня риска. Она рассчитывается из

аналитического определения множества успешного хеджирования (см. формулы (47) и (109)). Затем выплаты срочной позиции реплицируются на множестве успешного хеджирования. Для анализа зависимости сложных опционных стратегий от процентной ставки, особенностей базового актива и ожиданий владельца срочной позиции следует применять численные методы.