Хеджирование спрэда быка

Спрэдом называется торговая стратегия, состоящая в открытии позиции в двух или нескольких опционах одного типа. Одним из наиболее известных видов спрэда является спрэд быка. Он может быть создан, если купить опцион колл с некоторой ценой исполнения и одновременно продать другой" колл на тот же самый базовый актив, но с более высокой ценой исполнения.

Квантильное хеджирование на примере спрэда быка

Рассмотрим хеджирование спрэда быка с нижней ценой исполнения K₁и

высокой ценой исполнения K₂методом квантильного хеджирования. Исходя из предположения о совершенном хеджировании, мы рассмотрим, как изменится множество успешного хеджирования при увеличении вероятности возникновения потерь. В отличие от стандартного опциона колл, здесь возможны три вида множеств хеджируемых состояний. Их форма определяется уравнением (47):

где константа gопределяется из уравнения (48). В зависимости от отношения между средним темпом роста μ,волатильностью σи процечтпой'ставкои''г степенная функция S^_τ^μ~^r^^σможет быть вогнутой убывающей, выпуклой возрастающей или вогнутой возрастающей функцией от курса базового актива St-

Вариант 1:

При увеличении уровня допустимой вероятности потерь, множество успешного хеджирования принимает три различные формы. Рисунок 49 показывает, что происходит при увеличении риска.

Рис. 49: Квантильное хеджирование: нахождение множества успешного хеджирования, если средний темп роста меньше процентной ставки (на примере спрэда быка)

Чтобы полностью исключить риск, необходимо воспроизвести выплаты спрэда во всех состояниях. На рисунке случаю совершенного хеджирования соответствует ограничение (1), которое находится ниже степенной функции для любого курса базового актива. Если хеджер готов принять больший риск и инвестирует меньшее количество капитала в хеджирующую стратегию, линия ограничения поднимается вверх до позиции (2). Теперь степенная функцияниже ограничения для курсов базового актива,

превышающих границу A₂- Множество успешного хеджирования ограничено сверху и состоит из состояний, в которых курс базового актива ниже границы A₂. Выплаты хеджирующего портфеля на момент исполнения имеют вид:

При дальнейшем сокращении начального капитала и увеличении вероятности возникновения потерь линия ограничения поднимается еще выше (позиция (3) на графике 49). Она пересекается со степенной функцией на интервале между ценами исполнения K₁и K₂.Соответственно, выплаты хеджирующего портфеля на момент исполнения приобретают вид:

Если хеджер полностью отказывается от защиты от риска, то множество успешного хеджирования состоит исключительно из состоянийс нулевыми выплатами. Графически оно соответствует линии ограничения, поднятой предельно высоко и пересекающейся со степенной функцией близко к низшей цене исполнения K_jспрэда.

Таблица 7: Квантильное хеджирование: множество успешного хеджирования и выплаты

хеджирующего портфеля, если μ г

(на примере спрэда быка)

Вариант 2:выпукла и возрастает.

Множество успешного хеджирования состоит в этом случае из двух областей. Рисунок 51 показывает, как определить состояния, в которых должны воспроизводится выплаты спрэда.

149

Рис. 51: Квантильное хеджирование: нахождение множества успешного хеджирования, если выполняется условие(на примере спрэда быка)

Линия ограничения (1) соответствует случаю совершенного хеджирования. При возрастании риска, она поднимается (позиция (2)) и дважды пересекает степенную функцию. Абсцисса первой точки пересечения

располагается между ценами исполнения спрэда, вторая находится правее верхней цены исполнения. Множество успешного хеджирования охватывает состояния вне этих границ. При росте допустимого уровня вероятности потерь расстояние между границами увеличивается, и множество хеджируемых состояний сокращается. В таблице 8 представлены в сжатом виде выплаты хеджирующего портфеля в зависимости от уровня риска.

Таблица 8: Множество успеха и выплаты хеджирующего портфеля на примере спрэда быка в случае квантильного хеджирования, если выполняется условие

Множество успешного хеджирования в зависимости от вероятности успеха представлено на рисунке 52.

вторая область включает состояния с курсом базового актива, близки нижней цене исполнения. При увеличении вероятности успеха расстояния между ними сокращаются.

Рис. 52: Квантильное хеджирование: множество успешного хеджирования, если выполняется условие (∕z-r)∕σ²r(на примере спрэда быка)

Степенная функция дважды пересекается с линией ограничения, если хедж несовершенен. Возможные структуры множества успешного хеджирования представлены на рисунке 53.

Рис. 53: Квантильное хеджирование: нахождение множества успешного хеджирования, если выполняется условие(на примере спрэда быка)

Если хеджер принимает больший риск, линия ограничения поднимается, и множество успешного хеджирования изменяется согласно таблице 9.

Таблица 9: Множество успеха и выплаты хеджирующего портфеля на примере спрэда быка в случае квантильного хеджирования, если выполняется условие

Вероятность успеха квантильного хеджирование как функция от среднего темпа роста и стоимости защиты от риска представлена на рис. 54. Средний темп роста ниже 0.06 соответствует варианту 1, он принадлежит интервалу от 0.06 до 0.09 в варианте 2 и превышает 0.09 в варианте 3. Вероятность, что спрэд быка окажется вне денег высока, если базовый процесс обладает низким средним темпом роста.

отрицательно от среднего темпа роста.

Рис. 54: Вероятность успеха, как функция от среднего темпа роста и стоимости хеджирования (на примере спрэда быка)

На примере спрэда быка легко проследить один существенный недостаток метода квантильного хеджирования, а именно отсутствие свойства аддитивности. На рисунке 55 видно, что при неполной защите от риска стоимость хеджирования спрэда быка меньше, чем сумма стоимостей хеджирования составляющих его опционов. На лицо субаддитивность метода квантильного хеджирования.

Рис. 55: Аддитивность квантильного хеджирования на примере спрэда быка.

На рисунке 55 изображена зависимость цены спрэда быка и цены составляющих его опционов колл на базовый актив со средним темпом роста 0.09, волатильностью 0.20 и стартовым значением 100. Цены исполнения опционов колл составляют 100 и 120, срок исполнения равен единице.

Хеджирование ожидаемых потерь на примере спрэда быка

Если применяется метод хеджирования ожидаемых потерь, то множество успешного хеджирования состоит из одной целостной области. Его форма выводится из уравнения (109):

где константа gопределяется из ограничения (ПО). Величина разности среднего темпа роста и процентной ставки определяет форму множества

153 успешного хеджирования. Степенная функциявогнута и убывает,

если средний темп роста ниже процентной ставки. Состояния с курсом базового актива, близким к нижней цене исполнения, страхуются в этом случае в первую очередь. Напротив, если средний темп роста превышает процентную ставку, то степенная функциявозрастает.

множество успешного хеджирования состоит из состояний^ в которых курс базового актива выше некоторой границы. Рассмотрим эти случаи по отдельности более подробно.

Вариант 1:степенная функцияубывает

На рисунке 56 показано, как определяется структура множества успешного хеджирования в зависимости от допустимого уровня риска. Линия ограничения (1) соответствует отказу от защиты от риска. В этом случае степенная функцияпревышает ограничение, если курс базового

актива меньше нижней цены исполнения спрэда K₁.Все состояния с ненулевыми выплатами остаются незастрахованными. Когда держатель срочной позиции инвестирует больше капитала в хеджирующую стратегию, линия ограничения передвигается вверх. Сначала она пересекает степенную функцию между ценами исполнения (позиция (2)), а при дальнейшем увеличении инвестиций абсцисса точки пересечения смещается правее высокой цены исполнения спрэда K₂.

Рис. 56: Хеджирование ожидаемых потерь: нахождение множества успешного хеджирования, если(на примере спрэда быка)

Вне зависимости от уровня начального капитала, множество успешного хеджирования всегда ограничено справа. Тем не менее, функция выплат хеджирующего портфеля изменяется в зависимости от курса базового актива. В таблице 10 показаны выплаты хеджирующего портфеля для различного уровня инвестиции.

Таблица 10: Хеджирование ожидаемых потерь: множество успешного хеджирования и выплаты хеджирующего портфеля, если средний темп роста меньше процентной ставки (на примере спрэда быка)

Структура множества успешного хеджирования в зависимости от ожидаемого успеха показана на рисунке 57. Хредний темп роста и волатильность базового процесса составляют 0.03 и 0.05, процентная ставка равна 0.06. Срок исполнения контракта равен 0.25.

Рис. 57: Хеджирование ожидаемых потерь: множество успешного хеджирования, если средний темп роста меньше процентной ставки (на примере спрэда быка)

Вариант 2:степенная функциявозрастает.

Множество успешного хеджирования включает состояния с высоким курсом базового актива, если средний темп роста превышает процентную ставку. На рисунке 58 показано, как определяются хеджируемые состояния в зависимости от начального капитала и, соответственно, от допустимого уровня риска.

Рис. 58: Хеджирование ожидаемых потерь: нахождение множества успешного хеджирования, если средний темп роста больше ставки процента (спрэд быка)

Линия ограничения (1) соответствует совершенному хеджу. Если держатель срочной позиции готов пойти на больший риск и сокращает инвестиции в хеджирующую стратегию, то линия ограничения смещается вниз. Абсцисса

точки пересечения сдвигается налево. Структура множества успешного хеджирования и функция выплат хеджирующего портфеля в зависимости от допустимого риска представлены в таблице 11.

Таблица 11: Хеджирование ожидаемых потерь: множество успешного хеджирования и выплаты хеджирующего портфеля, если средний темп роста больше процентной ставки (на примере спрэда быка)

Множество успешного хеджирования в зависимости от ожидаемого успеха представлено на рисунке 59. Здесь средний темп роста равен 0.12, остальные параметры модели оставлены без изменений. Множество успешного хеджирования состоит из двух областей, разрыв между которыми сокращается при увеличении инвестиций в хеджирующий портфель.

Рис. 59: Хеджирование ожидаемых потерь: множество успешного хеджирования, если средний темп роста больше процентной ставки (на примере спрэда быка)

На рисунке 60 видно, что разность среднего темпа роста и процентной ставки оказывает сильное воздействие на успех страхования методом хеджирования ожидаемых потерь. Ожидаемый успех пропорционален стоимости хеджирования, если в средний темп роста равен процентной ставке. По мере

Рис. 60: Хеджирование ожидаемых потерь: ожидаемый успех, как функция от среднего темпа роста и стоимости хеджирования (на примере спрэда быка)

На примере спрэда быка численный анализ выявляет, что у метода хеджирования ожидаемых потерь также отсутствует свойство аддитивности. Стоимость хеджирования спрэда быка превышает сумму стоимостей хеджирования составляющих его опционов колл, то есть имеет место супераддитивность.

Рис. 61: Аддитивность хеджирования ожидаемых потерь на примере спрэда быка

На рис. 61 рассматриваются срочные позиции на базовый актив со средним темпом роста 0.15, волатильностью 0.10 и стартовым значением 100. Цены исполнения спрэда равны 100 и 120, срок исполнения равен единице.

В таблице 12 подводится итог анализ на примере спрэда быка защиты от риска по методу квантильного хеджирования и хеджирования ожидаемых потерь. Множества успешного хеджирования совпадают, если средний темп роста меньше процентной ставки. Тогда хеджирующая стратегия может быть оптимальной как по критерию квантиля, так и по критерию ожидаемого убытка. В действительности такие условия наблюдается достаточно редко. В более реалистичном случае, когда средний темп роста превышает процентную ставку, множества хеджируемых состояний различны. Тогда стратегия защиты от риска может быть оптимальной только по одному из критериев, но не по обоим одновременно.

Таблица 12: Множество успешного хеджирования в зависимости от параметров модели (на примере спрэда быка)

В следующем разделе мы применим оба метода для управления риском более агрессивной опционной стратегии - комбинации стрэддл.