2.3. Численный анализ чувствительности метода квантильногс хеджирования

Более наглядно алгоритм составления хеджирующего портфеля по методу квантильного хеджирования можно проиллюстрировать на численном примере. Также как и в предыдущей части, предположим, что курс базового актива следует геометрическому броуновскому движению, и средняя ставка роста μи волатильность σполностью определяют его динамику.

где x_t = IilS).Дискретизация процесса возможна с помощью биномиальной модели, представленной на рисунке 15. В каждый момент времени переменная х может либо подняться на уровеньс вероятностью

либо опуститься до уровняс вероятностью \-р.

Рис. 15: Биномиальная модель логарифмированного курса базового актива

Для перехода от непрерывного времени к дискретному следует подобрать факторы прыжка и вероятность его направления таким образом, чтобы математическое ожидание и вариация дискретного биномиального процесса совпадали с соответствующими параметрами броуновского движения на заданном промежутке времениФормально можно записать:

Мы пришли к системе из двух уравнений с тремя неизвестными и нуждаемся в дополнительном условии, чтобы найти ее решение.

86

Формулы (81) и (82) позволяют представить динамику курса базового актива в биномиальной модели. Последовательно реализуя алгоритм для определения множества успешного хеджирования приходим к зависимости относительного успеха хеджированияот курса базового актива. На

рисунке 16 она представлена для обоих видов структур этого множества.

Рассматривается опциона колл европейского типа с ценой исполнения ∕C=100. Процентная ставка г равняется 0.06, срок действия контракта Tравен единице. Базовый процесс начинается на уровне So=IOO, его волатильность σ составляет 0.2. В первом случае средняя ставка роста μсоставляет 0.09, и выполняется условиеВо втором случае средняя ставка роста

равна 0.12, и отношениепревышает единицу.

Рис. 16: Относительный вклад в вероятность успеха хеджирования

Численный анализ подтверждает результаты аналитического исследования. В зависимости от величиныотносительный успех хеджирования λ

либо строго убывает при возрастании курса базового актива, либо достигает минимума, а затем монотонно возрастает.

В первом случае,не превышает единицу, и сначала хеджируются

состояния, близкие к цене исполнения. При дальнейшем понижении коэффициента λво множество успешного хеджирования добавляются состояния, находящиеся по соседству друг с другом. Образно говоря, оно расширяется вправо, охватывая новые состояния с более высоким курсом базового актива. Заштрихованная область на рисунке 17 представляет собой структуру множества успешного хеджирования в зависимости от вероятности успеха.

Рис. 17: Множество успешного хеджирования, как функция от вероятности успеха, на

Во втором случае, когдабольше единицы, состояния с низким и

высоким курсом базового актива чередуются при переходе от большего значения коэффициента λк меньшему. Тогда множество успешного хеджирования состоит из двух областей, расстояние между которыми сокращается при понижении λи возрастании вероятности успеха.

Рис. 18: Множество успешного хеджирования, как функция от вероятности успеха, на

примере опциона колл, если выполняется условие

Поскольку состояния характеризуются различным относительным вкладом в вероятность успеха хеджирования, то зависимость между вероятностью успеха и стоимостью хеджирования имеет выпуклую форму. Хеджируя состояния с наиболее высокими коэффициентами λ,участник рынка достигает высокого прироста в вероятности успеха при сравнительно низких издержках.

Относительный вклад в вероятность успеха хеджирования представлен на рисунке 19 как функция от количества застрахованных состояний с ненулевыми выплатами. В качестве примера приведен опцион колл с ценой исполнения 100 и сроком исполнения равным единице. Средний темп роста базового процесса составляет 0.09 и волатильность равна 0.20. Базовый процесс начинается на уровне 100. Процентная ставка составляет 0.06.

Рис. 19: Относительный вклад в вероятность успеха в зависимости от числа застрахованных состояний с ненулевыми выплатами

Также следует отметить, что хеджирующая стратегия имеет более высокую вероятность успеха, если шансы, что срочный контракт будет исполнен "в деньгах", низки. Состояния с нулевыми выплатами автоматически добавляются во множество успешного хеджирования, не приводя к дополнительным затратам капитала. Это увеличивает вероятность успеха без новых инвестиций в хеджирующую стратегию.

Детерминанты стоимости опционного контракта оказывают непосредственное влияние на успех хеджирующей стратегии. В частности, успех хеджирования зависит от характеристик процесса базового актива. Опцион колл вероятнее окажется в деньгах, если процесс обладает высоким средним темпом роста. В этом случае риск убытка достаточно высок, если держатель опциона отказывается от хеджирования. C другой стороны, если средний темп роста низок, то курс базового актива едва ли превысит цену исполнения. Тогда вероятность успеха хеджирующей стратегии достаточно высока, даже если все состояния оставлены незастрахованными. В этом случае вероятность успеха хеджирования соответствует физической вероятности, что курс базового актива не превысит цену исполнения на момент исполнения контракта. Она выводится из формулы (34) следующим образом:

Вероятность успеха отрицательно зависит от среднего темпа роста.

Рис. 20: Вероятность успеха, как функция от среднего темпа роста и стоимости хеджирования (на примере опциона колл)

Если устремить средний темп роста к бесконечности, то базовый процесс почти наверняка превысит цену исполнения, и опцион колл окажется в деньгах. Соответственно, вероятность успеха стремится к нулю, если держатель опциона отказывается от страхования. Напротив, она близка к

единице, если средний темп роста достаточно низок.

Волатильность базового процесса является еще одним фактором, определяющим стоимость финансового опциона. Если средний темп роста положителен, то более вероятно, что на момент исполнения его уровень окажется ниже цены исполнения, если волатильность высока. C другой стороны, если волатильность равна нулю, базовый процесс с положительным средним темпом роста обязательно превысит начальный уровень. Тогда на момент исполнения опцион колл с ценой" исполнения, равной" начальному уровню процесса, окажется в деньгах, и хеджер будет вынужден возместить его выплаты. C увеличением волатильности возрастают шансы, что процесс завершится ниже цены исполнения, и, соответственно, возрастает вероятность успеха.

Рисунок 21 показывает взаимосвязь между вероятностью успеха и относительной стоимостью хеджирования для волатильности в интервале от нуля до единицы. В качестве примера рассматривается опцион колл с ценой исполнения 100. Средний темп роста 0.09, начальный курс 100, процентная ставка 0.06, срок исполнения равен единице. Однозначно, такой процесс превысит начальный уровень, если волатильность равна нулю.

Рис. 21: Вероятность успеха как функция от волатильности и стоимости хеджирования (на примере опциона колл, средний темп роста положителен)

В другой стороны, процесс с отрицательным средним темпом роста обязательно завершится ниже стартового значения, если волатильность равна нулю. Возрастание волатильности увеличивает шансы, что процесс завершится выше начального уровня. Рисунок 22 показывает вероятность успеха, как функцию от волатильности и стоимости хеджирования. Средний темп роста базового процесса в этом случае отрицателен и составляет -0.09. На графике видно, что вероятность успеха равна единице, если волатильность равна нулю. При возрастании волатильности вероятность успеха успеха сначала сокращается и достигает минимума, а затем возрастает снова.

Рис. 22: Вероятность успеха как функция от волатильности и стоимости хеджирования (на примере опциона колл, средний темп роста отрицателен)

Особенности финансового опциона также важны для взаимосвязи между вероятностью успеха и стоимостью хеджирования. При прочих равных, опцион колл с низкой ценой исполнения скорее окажется в деньгах, чем аналогичный колл, но с более высокой ценой исполнения. Рисунок 23 показывает вероятность успеха в зависимости от цены исполнения. Средний темп роста и волатильность базового процесса составляют 0.09 и 0.20, начальный курс 100. Срок исполнения контракта равен единице, процентная ставка составляет 0.06.

Рис. 23: Вероятность успеха, как функция от цены исполнения и стоимости хеджирования, на примере опциона колл

Срок исполнения является еще одним фактором, определяющим цену финансового опциона. Как и в случае с волатильностью, его воздействие на вероятность успеха хеджирования зависит от среднего темпа роста базового процесса. Если средний темп роста положителен, то с увеличением срока исполнения возрастает вероятность, что опцион колл окажется в деньгах. Соответственно, вероятность успеха понижается при увеличении срока исполнения контракта.

Вероятность успеха в зависимости от срока исполнения и стоимости хеджирования представлена на рисунке 24. Если срок исполнения близок, то опцион колл с ценой исполнения, равной курсу базового актива, может отказаться в деньгах с вероятностью чуть больше половины. При увеличении срока исполнения возрастают шансы, что опцион колл на акцию с положительным средним темпом роста окажется в деньгах. Соответственно, понижается вероятность успеха хеджирования.

Рис. 24: Вероятность успеха, как функция от срока исполнения и стоимости хеджирования (на примере опциона колл, средний темп роста положителен)

C другой стороны, если средний темп роста базового процесса отрицателен, то с увеличением срока исполнения контракта возрастают шансы, что процесс завершится ниже цены исполнения, и опцион колл окажется вне денег. Соответственно, вероятность успеха положительно зависит от срока исполнения. Вероятность успеха в зависимости от срока исполнения и стоимости хеджирования представлена на рисунке 25.

Рис. 25: Вероятность успеха, как функция от срока исполнения и стоимости хеджирования, на примере опциона колл, средний темп роста отрицателен)

Стоимость финансового опциона также зависит от процентной ставки. Хотя ставка процента и не оказывает влияния на физическую вероятность успеха, она воздействует на стоимость страхования и, соответственно, на относительный вклад в успех хеджирования. Рисунок 26 показывает вероятность успеха в зависимости от процентной' ставки и стоимости хеджирования.

Рис. 26: Вероятность успеха, как функция от процентной ставки и стоимости хеджирования, на примере опциона колл

В случае полного отказа от страхования процентная ставка не оказывает влияния на вероятность успеха. Ее воздействие возрастает, если держатель срочной позиции инвестирует больше капитала в хеджирующую стратегию. При увеличении процентной ставки зависимость между вероятностью успеха и стоимостью хеджирования становится более вогнутой.

Метод квантильного хеджирования позволяет держателю опционной позиции гибко определять оптимальную хеджирующую стратегию. Такая стратегия максимизирует физическую вероятность успеха хеджирования для заданного начального капитала, или альтернативно, минимизирует расходы на хеджирование для достижения определенной вероятности успеха. Успех хеджирующей стратегии в значительной мере зависит от вероятности, что опцион окажется в деньгах. Эта вероятность задает начальный уровень вероятности успеха, когда еще не сделано инвестиций в хеджирующий портфель.

Зависимость между вероятностью успеха и стоимостью хеджирования имеет выпуклую форму. Это объясняется тем, что различные состояния имеют различный вклад в вероятность успеха на единицу капитала. Инвестиция в репликацию выплат в состояниях с высоким относительным вкладом в успех увеличивает вероятность успеха сильнее, чем такая же инвестиция в страхования состояний с низким относительным вкладом.

Детерминанты стоимости финансового опциона, такие как его характеристики, параметры базового процесса и величина процентной ставки оказывают сильное воздействие на эффективность применения метода квантильного хеджирования. Основной эффект заключается в их воздействии на вероятность, что опцион окажется в деньгах. К примеру, при прочих равных более вероятно, что опцион колл окажется в деньгах, если средний темп роста базового процесса высок или цена исполнения низка. Воздействие других детерминант стоимости производного инструмента может быть сложнее. Вероятность успеха положительно зависит от волатильности базового актива и срока исполнения контракта, если базовый процесс обладает положительным средним темпом роста. Если средний темп роста отрицателен, то срок исполнения оказывает негативное воздействие на вероятность успеха. Тогда увеличение волатильности сначала понижает вероятность успеха, а после достижения минимума, снова увеличивает ее. Процентная ставка оказывает положительное влияние на степень вогнутости взаимосвязи между вероятностью успеха и стоимостью хеджирования.

Концепция квантильного хеджирования уделяет основное внимание вероятности возникновения убытка и не принимает в расчет его размер. Это вызывает критику со стороны практического применения. Концепция хеджирования ожидаемых потерь использует математическое ожидание потерь в качестве меры риска, что позволяет контролировать величину убытка.