2.2. Анализ метода квантильного хеджирования в рамках модели Блэка-Шоулса

Классическая модель Блэка и Шоулса предполагает, что динамика цены базового актива S_tописывается геометрическим броуновским движением [66]:

гдеявляется винеровским процессом при естественной мере вероятности

P.После преобразования уравнения (32) при помощи леммы Ито-

Колмогорова [55] и последующего интегрирования логарифм курса акции на момент исполнения Tможет быть представлен следующим образом:

Вследствие нормальности распределения винеровского процесса, логарифм курса базового актива также описывается нормальным распределением при физической мере вероятности Р\

Согласно доказательству в предыдущей части, оптимальная стратегия в задаче квантильного хеджирования заключается в репликации модифицированного платежного обязательства с функцией выплат _jгде множество успешного хеджирования А задается как:

Отношениев непрерывном времени аналогично коэффициенту λв

дискретном случае.

75

Подставим значение производной Радона-Никодима (27) в это выражение:

В правой части неравенства только выплаты производного инструмента находятся в зависимости от состояния ω.Остальные параметры представляются собой постоянные величины, которые можно объединить в отдельную константу γ:

В новых обозначениях множество успешного хеджирования предстает в сокращенном виде:

В случае геометрического броуновского движения процесс плотности мартингальной меры Qпо отношению к Pимеет следующий вид [34]:

Используя уравнение (42), множество успешного хеджирования А задается как:

76

Формула (43) позволяет представить его структуру в зависимости от терминального курса базового активаДля этой цели прибавим, а затем вычтем из выражения под знаком экспоненты следующий трансформированный фрагмент формулы для логарифмированного курса на момент времени Т\

Благодаря подстановке, структура множества успешного хеджирования, заданная формулой (43), может быть представлена следующим образом:

Выражение (45) может быть упрощено к следующему виду:

Значение экспоненты всегда положительно и не зависит от терминального курса базового актива.

77

Его форма определяется показателем степени, в которую возводится курс базового актива в формуле (47). Формула (47) служит основой для определения множества успешного хеджирования платежных обязательств различный типов.

Рассмотрим строение множества успешного хеджирования на примере стандартного опциона колл с ценой исполнения К. Здесь возможны два варианта.

г, и показатель степени положителен. Если же средний темп роста ниже процентной ставки, то показатель степени отрицателен, и степенная функция вогнута и монотонно убывает. Позднее мы увидим, что множество успешного хеджирования состоит из состояний близких к цене исполнения в этом случае.

вогнута и возрастает монотонно. Тогда множество успешного хеджирования состоит из двух областей. Первая область включает состояния близкие к цене исполнения, а вторая содержит состояния, в которых курс базового актива превышает некоторый высокий уровень. Расстояние между областями сокращается, если участник рынка инвестирует больше капитала в хеджирующий портфель. Рассмотрим внимательнее оба варианта оптимальной структуры множества успешного хеджирования.

Вариант 1:в формуле (47) выпукла и

возрастает или вогнута и убывает

Решение проблемы (47) в случае выпуклой возрастающей степенной функциипредставлено на рисунке 13.

отмечает структуру множества успешного хеджирования в зависимости от курса базового актива.

Рис. 13: Ограниченное сверху множество успешного хеджирования в случае квантильного хеджирования на примере опциона колл.

Множество непрерывно и ограничено сверху и в том случае, если процентная ставка г превышает средний темп роста μ,и степенная функция вогнута и убывает. Таким образом, если выполняется условие то множество успешного хеджирования состоит из одной" непрерывной"" области слева от абсциссы точки пересечения hвне зависимости от того, превышает ли средний темп роста μпроцентную ставку г или нет.

Множество успешного хеджирования увеличивается, если участник рыка инвестирует больше средств в хеджирующий портфель. Верхняя граница h сдвигается вправо вдоль абсциссы, и дополнительные состояния с более высоким курсом базового актива включаются во множество. Если величина начального капитала приближается к стоимости совершенного хеджа, и вероятность успеха стремится к единице, то граница hустремляется к

бесконечности, и множество успешного хеджирования охватывает все больше и больше состояний. C другой стороны, если участник рынка полностью отказывается от хеджирования, то граница hсоответствует цене исполнения К, и это множество содержит только состояния с нулевыми выплатами.

Формально множество успешного хеджирования можно записать следующим образом:

Константа hопределяется в зависимости от заданной вероятности успеха или начального капитала Vq.При описании курса базового актива с помощью геометрического броуновского движения (32), единственный источник неопределенности в модели выражается посредством винеровского процесса.

Подставляя эту формулу в определение множества успешного хеджирования (49), мы получаем:

I

I

Винеровский процесс следует нормальному распределению при естественной мере вероятности. Его математическое ожидание равняется нулю, а вариация соответствует длительности процесса, то естьПри переходе к

риск-нейтральной мере вероятности Q,он преобразуется следующим образом:

80

Соответственно, его распределение при естественной мере Pприобретает вид:

I

Тогда естественная вероятность успешного хеджирования выражается из уравнений (51) и (52), как:

)

где Ф обозначает функцию стандартного нормального распределения. Константа bи, соответственно, верхняя граница h,могут быть представлены в виде функции от вероятности успеха хеджирования l-ε:

Согласно уравнению (52), логарифм верхней границы hзависит от константы bследующим образом:

Структура выплат, представленная на рисунке 13, может быть воспроизведена комбинацией из двух стандартных опционов колли

с ценами исполнения К и hи бинарного опциона коллс ценой

исполнения Л:

⁶Обозначение бинарного опциона CoN является сокращением от его альтернативного английского названия "cash-or-nothing"

81

Стоимость первых двух составляющих рассчитывается по формуле Блэка- Шоулса:

где х обозначает соответствующую цену исполнения.

Стоимость бинарного опциона колл определяется на основе мартингального подхода. Нормируя выплаты опциона с помощью банковского счета в качестве нумератора, можно записать:

При нейтральной к риску мере вероятности Qлогарифмированный курс базового актива следует нормальному распределению следующего вида:

Тогда рис к-нейтральная вероятность, что курс базового актива превысит границу h,равняется:

Подставив полученную риск-нейтральную вероятность в уравнение (62), приходим к стоимости бинарного опциона колл:

Подставим выражение (57) для границы h,как функции от Ь, в формулы (60)

Сложив три составляющие стоимости хеджирующего портфеля из уравнения (58), приходим после упрощения к следующему результату:

Приведенное выше выражение является замкнутой аналитической формулой для расчета стоимости хеджирования в зависимости от задашюй'вероятности успеха. Тем не менее, замкнутое решение существует лишь при условии, что отношениене превышает единицу. Если это условие не

выполняется, то замкнутое решение отсутствует.

линию ограничения g-H_τ⅛двух точках. Первая область состоит из состояний, в которых курс базового актива близок к цене исполнения.

83

Рис. 14: Множество успешного хеджирования с двумя областями в случае квантильного хеджирования на примере опциона колл

Формально множество успешного хеджирования выражается согласно:

что эквивалентно:

Соответственно, обратная зависимость InA_zот константы b_iвыражается:

Выплаты хеджирующего портфеля на момент исполнения контракта, представленные на рисунке 14, можно воспроизвести с помощью комбинации из трех опционов колл Ст и двух бинарных опционов колл

Для оценки стандартного опциона колл воспользуемся формулой Блэка-

Шоулса, а для нахождения стоимости бинарного опциона колл применим формулу (65). Также воспользуемся формулами (66) и (67) для расчета d₁(h_i) и d₂(h_i),как функций от b_i, і = 1, 2. Стоимость хеджирующего портфеля рассчитывается, как сумма его составляющих, и равняется:

В данном случае не существует однозначной зависимости между вероятностью успеха хеджирования и затратами капитала. Решение этой проблемы возможно с помощью численных методов.