<<
>>

Анализ метода хеджирования ожидаемых потерь в рамках модели Блэка-Шоулса

В предыдущем разделе мы показали, что множество успешного

хеджирования состоит из состояний с высоким относительным вкладом в успех хеджирования, а его размер зависит от величины начального капитала:

Благодаря мультипликативной связи между производными Радона- Никодима:

множество успешного хеджирования можно представить в следующем виде:

Подставив определения производных Радона-Никодима (94) и (97), множество А можно упростить:

где константа /включает параметр с и отношение математических ожидании"" выплат платежного обязательства при физической и нейтральной к риску мерах вероятности Pи Qсоответственно:

Отметим, что в отличие от аналогичного показателя в случае квантильного хеджирования, здесь величина параметра /не зависит от состояния со.

Уравнение (107) позволяет представить множество успешного

хеджирования в зависимости от курса базового актива.

Для этой цели подставим в него процесс отношения риск-нейтральной меры Qк физической мере P(см. формулу (42)). По аналогии с методом квантильного хеджирования, множество успеха А приводится к следующему виду: где параметр gзадан как:

В зависимости от величины показателя степенив уравнении (109)

возможны две формы множества успешного хеджирования.

Степенная функциявозрастает монотонно, если средний темп роста μбольше,

чем процентная ставка г. Она превышает уровень gпри высоком курсе базового актива. Тогда множество успешного хеджирования состоит из состояний, в которых базовый процесс выше некоторого уровня. C другой стороны, степенная функцияубывает, если средний темп роста

меньше, чем процентная ставка. Множество успешного хеджирования состоит в этом случае из состояний, в которых курс базового актива ниже некоторой границы. Ниже мы рассмотрим эти оба случая подробнее.

Вариант 1:tмонотонно возрастает

Состояния с высоким курсом базового процесса возникают с большей вероятностью, если средний темп роста велик. Соответственно, вклад выплат в этих состояниях в ожидаемый убыток имеет большой вес, и они должны страховаться в первую очередь.

109

Рис. 27: Множество успешного хеджирования в случае хеджирования ожидаемых потерь, если средний темп роста превышает процентную ставку

На рисунке 27 показано множество успешного хеджирования, как функция от цены базового актива. Оно состоит из состояний, в которых курс превышает точку пересечения h.Форма множества успешного хеджирования не зависит от выплат платежного обязательства. Более того, на графике видно, что возможно только одно пересечение, вне зависимости от параметров базового процесса. Следовательно, множество успешного хеджирования состоит из одного региона, включающего состояния справа от границы А:

Уровень hзависит от величины начального капитала, которая соответствует определенному уровню ожидаемых потерь.

Эта граница сдвигается влево и множество успешного хеджирования расширяется, если держатель срочной позиции инвестирует больше капитала в хеджирующий портфель. При уменьшении инвестиций граница сдвигается вправо, и множество успешного хеджирования сокращается.

Так как меры вероятностине эквивалентны, то не

существует замкнутого представления взаимосвязи между инвестированным капиталом и успехом хеджирования. Однако обе эти величины можно представить, как функции от уровня h.Поставив их затем в соответствие,

но

можно оценить зависимость между стоимостью и успехом стратегии хеджирования.

Рассмотрим характеристики концепции хеджирования ожидаемых потерь на примере Европейского опциона колл с ценой исполнения К. Его выплаты в зависимости от курса базового актива Stпредставлены на рисунке 28.

Рис. 28: Выплаты опциона колл на множестве успеха в случае хеджирования ожидаемых потерь, если средний темп роста превышает процентную ставку

На графике 28 видно, что следует страховать выплаты справа от границы h. Такая структура соответствует выплатам опциона колл типа "актив или ничего"(asset-or-nothing). Они могут быть воспроизведены комбинацией из стандартного и бинарного опционов колл с ценами исполнения hи К и сроком исполнения Т\

Стоимость опциона колл рассчитывается по формуле Блэка-Шоулса, для оценки бинарного опциона воспользуемся мартингальным подходом. Тогда стоимость хеджирующего портфеля Vqравняется:

Ill

Нижняя граница множества успешного хеджирования hзависит от величины начального капитала, соответствующей допустимому уровню ожидаемых потерь. Если опцион полностью защищен от риска, то она соответствует цене исполнения. Можно проследить, что стоимость хеджирующего портфеля равняется стоимости опциона, если подставить h = Кв формулу (113). В этом случае все риски устранены, и экономии капитала не достигается.

C другой стороны, граница hстремится к бесконечности, если держатель опциона отказывается от хеджирования. Формулы (114) и (115) показывают, что для достаточно высоких значений hпараметрыустремляются к

минус бесконечности, и соответствующие значения нормального распределения равны нулю. Следовательно, стоимость хеджирующего портфеля также равняется нулю, никакие состояния не страхуются, а ожидаемый убыток достигает своего максимального уровня.

Ожидаемый убыток Ψсоответствует физическому математическому ожиданию выплат платежного обязательства в незастрахованных состояниях. Он выводится из уравнения (116):

что эквивалентно:

Из определения броуновского движения следует, что логарифмированный курс базового актива следует нормальному распределению при физической мере вероятности Р. Математическое ожидание от членов уравнения (117),

содержащих цену исполнения К, рассчитывается, как произведение физической вероятности, что процесс не превысит уровень hи К, и цены исполнения К.

Расчет компонентов, содержащих курс базового актива, требует больших усилий. Подход схож с выводом формулы Блэка-Шоулса и состоит в нахождении новой меры вероятности, позволяющей устранить курс базового актива из под знака математического ожидания. Значение компонента соответствует произведению новой искусственной вероятности и вынесенных из под знака математического ожидания членов. Рассмотрим этот метод более подробно на примере одной из составляющих уравнения (117):

Вначале нормализуем аргумент оператора при помощи физического математического ожидания курса базового актива:

Определим новую меру вероятности Rпри помощи производных Радона- Никодима вида:

I

Упростим его, подставив в это определение выражение для уровня базового процесса из формулы (33):

Компонент Ztравняется произведению математических ожиданий функции индикатора при мере Rи курса базового актива при физической мере Р:

Так как математическое ожидание от индикатора равно вероятности, формулу (122) преобразуется в следующий вид:

Задача состоит в том, чтобы найти распределение курса базового процесса при новой вероятностной мере R.Для этой цели необходимо преобразовать винеровский процессв уравнении динамики базового актива (32) в новый процесскоторый является мартингалом при мере вероятности R.

Формально, нужно найти смещение λ модифицированного процесса

Основным свойством мартингала является отсутствие смещения. По отношению к мере вероятности Rего можно записать так:

Это означает, что ожидаемый в будущий момент времени t + и уровень процессапри мере вероятности Rсоответствует уровню процесса на настоящий момент времени t [61]. Подставив в формулу (125) производные Радона-Никодима, можно перейти к физической мере вероятности Р\

Обозначим производные Радона-Никодима в момент времени tчерез xt'.

Благодаря мультипликативной зависимости между переменными

уравнение (126) можно представить в следующем виде:

что эквивалентно:

Это условие выполняется только в том случае, если инкремент правой части не содержит детерминистических членов. В развернутом виде дифференциал выражается так:

Дифференциал винеровского процессавычисляется непосредственно из формулы (124). Для расчета дифференциала производных Радона-Никодима dxtприменим лемму Ито-Колмогорова к уравнению (121). Сначала представим производные в экпоненциальном виде:

Можно доказать, что после упрощения дифференциал производных равен:

Подставив формулы (131) и (132) в уравнение (130) и сократив его до членов первого порядка, получаем:

Детерминистические члены сокращаются только в том случае, если коэффициент λравен волатильности σс обратным знаком. Соответственно, взаимосвязь между процессамиимеет вид:

115

Подставив ее в уравнение динамики курса базового актива (33), приходим к распределению следующего вида:

Формула (136) позволяет вычислить вероятность при мере Rтого, что курс базового актива не превысит нижнюю границу hмножества успешного хеджирования:

Тогда компонент Ztформулы (123) имеет вид:

Уравнение (138) схоже с дельтой опциона в формуле Блэка-Шоулса. Единственное отличие состоит в том, что место процентной ставки занимает средний темп роста базового процесса. Ожидаемый убыток Ψвыводится из уравнения (117):

В случае совершенного хеджа граница hсовпадает с ценой исполнения К, и ожидаемый убыток равен нулю. C другой стороны, граница hстремится к бесконечности, если держатель срочной позиции полностью отказывается от защиты от риска. Тогда ожидаемый убыток максимален и составляет:

где параметры

<< | >>
Источник: Антонов Павел Юрьевич. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ МЕТОДОВ НЕСОВЕРШЕННОГО ХЕДЖИРОВАНИЯ ФИНАНСОВЫХ ОПЦИОНОВ. Диссертация на соискание ученой степени кандидата экономических наук. Москва - 2004. 2004

Еще по теме Анализ метода хеджирования ожидаемых потерь в рамках модели Блэка-Шоулса:

  1. 2.2. Анализ метода квантильного хеджирования в рамках модели Блэка-Шоулса
  2. 4.1. Сравнительный анализ метода квантильного хеджирования и метода хеджирования ожидаемых потерь
  3. Особенности применения метода хеджирования ожидаемых потерь в зависимости от параметров модели
  4. Развитие теории хеджирования и ценообразования опционов после открытия модели Блэка-Шоулса
  5. Механизм реализации методов квантильного хеджирования и метода хеджирования ожидаемых потерь при принятии инвестиционных решений
  6. Глава 3. Хеджирование ожидаемых потерь
  7. 2.3. Численный анализ чувствительности метода квантильногс хеджирования
  8. Оценка эффективности методов несовершенного хеджирования опционных позиций на российском фондовом рынке
  9. Методы несовершенного хеджирования
  10. МЕТОД И АЛГОРИТМ КОММУТАЦИИ С ПАРАЛЛЕЛЬНО­КОНВЕЙЕРНОЙ ДИСПЕТЧЕРИЗАЦИЕЙ ПАКЕТОВ. СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ КОММУТАЦИОННОГО УСТРОЙСТВА
  11. Глава 4. Эффективность методов несовершенного хеджирования
  12. Глава 1. Теоретические аспекты развития срочного рынка и методов хеджирования
  13. Антонов Павел Юрьевич. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ МЕТОДОВ НЕСОВЕРШЕННОГО ХЕДЖИРОВАНИЯ ФИНАНСОВЫХ ОПЦИОНОВ. Диссертация на соискание ученой степени кандидата экономических наук. Москва - 2004, 2004
  14. Основные расчетные модели силового сопротивления железобетона
  15. Построение имитационной модели коммутационного устройства
  16. Структурная модель устройства коммутации с параллельно­конвейерной диспетчеризацией пакетов
  17. Хеджирование стрэддла
  18. Хеджирование спрэда быка