Анализ метода хеджирования ожидаемых потерь в рамках модели Блэка-Шоулса

В предыдущем разделе мы показали, что множество успешного

хеджирования состоит из состояний с высоким относительным вкладом в успех хеджирования, а его размер зависит от величины начального капитала:

Благодаря мультипликативной связи между производными Радона- Никодима:

множество успешного хеджирования можно представить в следующем виде:

Подставив определения производных Радона-Никодима (94) и (97), множество А можно упростить:

где константа /включает параметр с и отношение математических ожидании"" выплат платежного обязательства при физической и нейтральной к риску мерах вероятности Pи Qсоответственно:

Отметим, что в отличие от аналогичного показателя в случае квантильного хеджирования, здесь величина параметра /не зависит от состояния со.

Уравнение (107) позволяет представить множество успешного

хеджирования в зависимости от курса базового актива.

В зависимости от величины показателя степенив уравнении (109)

возможны две формы множества успешного хеджирования.

чем процентная ставка г. Она превышает уровень gпри высоком курсе базового актива. Тогда множество успешного хеджирования состоит из состояний, в которых базовый процесс выше некоторого уровня. C другой стороны, степенная функцияубывает, если средний темп роста

меньше, чем процентная ставка. Множество успешного хеджирования состоит в этом случае из состояний, в которых курс базового актива ниже некоторой границы. Ниже мы рассмотрим эти оба случая подробнее.

Вариант 1:_tмонотонно возрастает

Состояния с высоким курсом базового процесса возникают с большей вероятностью, если средний темп роста велик. Соответственно, вклад выплат в этих состояниях в ожидаемый убыток имеет большой вес, и они должны страховаться в первую очередь.

109

Рис. 27: Множество успешного хеджирования в случае хеджирования ожидаемых потерь, если средний темп роста превышает процентную ставку

На рисунке 27 показано множество успешного хеджирования, как функция от цены базового актива. Оно состоит из состояний, в которых курс превышает точку пересечения h.Форма множества успешного хеджирования не зависит от выплат платежного обязательства. Более того, на графике видно, что возможно только одно пересечение, вне зависимости от параметров базового процесса. Следовательно, множество успешного хеджирования состоит из одного региона, включающего состояния справа от границы А:

Уровень hзависит от величины начального капитала, которая соответствует определенному уровню ожидаемых потерь.

Так как меры вероятностине эквивалентны, то не

существует замкнутого представления взаимосвязи между инвестированным капиталом и успехом хеджирования. Однако обе эти величины можно представить, как функции от уровня h.Поставив их затем в соответствие,

но

можно оценить зависимость между стоимостью и успехом стратегии хеджирования.

Рассмотрим характеристики концепции хеджирования ожидаемых потерь на примере Европейского опциона колл с ценой исполнения К. Его выплаты в зависимости от курса базового актива Stпредставлены на рисунке 28.

Рис. 28: Выплаты опциона колл на множестве успеха в случае хеджирования ожидаемых потерь, если средний темп роста превышает процентную ставку

На графике 28 видно, что следует страховать выплаты справа от границы h. Такая структура соответствует выплатам опциона колл типа "актив или ничего"(asset-or-nothing). Они могут быть воспроизведены комбинацией из стандартного и бинарного опционов колл с ценами исполнения hи К и сроком исполнения Т\

Стоимость опциона колл рассчитывается по формуле Блэка-Шоулса, для оценки бинарного опциона воспользуемся мартингальным подходом. Тогда стоимость хеджирующего портфеля Vqравняется:

Ill

Нижняя граница множества успешного хеджирования hзависит от величины начального капитала, соответствующей допустимому уровню ожидаемых потерь.

C другой стороны, граница hстремится к бесконечности, если держатель опциона отказывается от хеджирования. Формулы (114) и (115) показывают, что для достаточно высоких значений hпараметрыустремляются к

минус бесконечности, и соответствующие значения нормального распределения равны нулю. Следовательно, стоимость хеджирующего портфеля также равняется нулю, никакие состояния не страхуются, а ожидаемый убыток достигает своего максимального уровня.

Ожидаемый убыток Ψсоответствует физическому математическому ожиданию выплат платежного обязательства в незастрахованных состояниях. Он выводится из уравнения (116):

что эквивалентно:

Из определения броуновского движения следует, что логарифмированный курс базового актива следует нормальному распределению при физической мере вероятности Р. Математическое ожидание от членов уравнения (117),

содержащих цену исполнения К, рассчитывается, как произведение физической вероятности, что процесс не превысит уровень hи К, и цены исполнения К.

Расчет компонентов, содержащих курс базового актива, требует больших усилий. Подход схож с выводом формулы Блэка-Шоулса и состоит в нахождении новой меры вероятности, позволяющей устранить курс базового актива из под знака математического ожидания. Значение компонента соответствует произведению новой искусственной вероятности и вынесенных из под знака математического ожидания членов. Рассмотрим этот метод более подробно на примере одной из составляющих уравнения (117):

Вначале нормализуем аргумент оператора при помощи физического математического ожидания курса базового актива:

Определим новую меру вероятности Rпри помощи производных Радона- Никодима вида:

I

Упростим его, подставив в это определение выражение для уровня базового процесса из формулы (33):

Компонент Z_tравняется произведению математических ожиданий функции индикатора при мере Rи курса базового актива при физической мере Р:

Так как математическое ожидание от индикатора равно вероятности, формулу (122) преобразуется в следующий вид:

Задача состоит в том, чтобы найти распределение курса базового процесса при новой вероятностной мере R.Для этой цели необходимо преобразовать винеровский процессв уравнении динамики базового актива (32) в новый процесскоторый является мартингалом при мере вероятности R.

Формально, нужно найти смещение λ модифицированного процесса

Основным свойством мартингала является отсутствие смещения. По отношению к мере вероятности Rего можно записать так:

Это означает, что ожидаемый в будущий момент времени t + и уровень процессапри мере вероятности Rсоответствует уровню процесса на настоящий момент времени t [61]. Подставив в формулу (125) производные Радона-Никодима, можно перейти к физической мере вероятности Р\

Обозначим производные Радона-Никодима в момент времени tчерез x_t'.

Благодаря мультипликативной зависимости между переменными

уравнение (126) можно представить в следующем виде:

что эквивалентно:

Это условие выполняется только в том случае, если инкремент правой части не содержит детерминистических членов. В развернутом виде дифференциал выражается так:

Дифференциал винеровского процессавычисляется непосредственно из формулы (124).

Можно доказать, что после упрощения дифференциал производных равен:

Подставив формулы (131) и (132) в уравнение (130) и сократив его до членов первого порядка, получаем:

Детерминистические члены сокращаются только в том случае, если коэффициент λравен волатильности σс обратным знаком. Соответственно, взаимосвязь между процессамиимеет вид:

115

Подставив ее в уравнение динамики курса базового актива (33), приходим к распределению следующего вида:

Формула (136) позволяет вычислить вероятность при мере Rтого, что курс базового актива не превысит нижнюю границу hмножества успешного хеджирования:

Тогда компонент Z_tформулы (123) имеет вид:

Уравнение (138) схоже с дельтой опциона в формуле Блэка-Шоулса. Единственное отличие состоит в том, что место процентной ставки занимает средний темп роста базового процесса. Ожидаемый убыток Ψвыводится из уравнения (117):

В случае совершенного хеджа граница hсовпадает с ценой исполнения К, и ожидаемый убыток равен нулю. C другой стороны, граница hстремится к бесконечности, если держатель срочной позиции полностью отказывается от защиты от риска. Тогда ожидаемый убыток максимален и составляет:

где параметры